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複素解析において、関数値として複数の複素数を取る多価関数を考えるとき、関数の主値(しゅち、: principal value)とはその関数の分枝から取られる値のことである。多価関数の値を主値に限定することで、一価の関数となる。

目次

必要性編集

複素対数関数 log z は、一つの複素数 z を以下を満たす複素数 w に移す関数である。

 

例えば、  の値を計算しようとすると、以下の方程式を満たす解として w を求めることになる。

 

オイラーの公式から、  が一つの解であることは明らかであるが、解はそれだけでない。

関数の引数とした点  複素平面上での位置を考えると、解が複数あることが分かる。  から反時計回りに   ラジアンだけ回転した点が   になるが、ここからさらに   回転すると、また   になる。したがって   の値であると考えることができ、また   だけでなく、その整数倍を加えたものはすべて、この関数の値と考えることができる。

しかし実数関数の場合と比較すると、これには違和感がある。つまり   の値は一意に定まらない、ということである。log z は、k を任意の整数として

 

と書ける。k の値は分岐点として知られ、多価関数が一価になる点を決めることになる。

ここで k = 0 に相当する分枝を主枝英語版、この主枝において関数が取る値を主値と呼ぶ。

一般化編集

一般に f(z) が多価関数のとき、f の主値を

 

と書き表す。これは、f の定義域内の複素数 z について一価の関数となる。

主な関数の主値編集

複素数を取る初等関数は、定義域内で領域によっては多価となる。主値を取るのが簡単な形の関数に分解することで、その主値を決めることができる場合がある。

対数関数編集

対数関数の例は上述したが、その形は

 

である。ここで   が多価である。この偏角の取りうる範囲を   に限定すれば、その偏角における関数の値を主値として取ることができる。このときの(範囲の限定された)偏角を、大文字を使って   と書く。関数の定義に   の代わりに   を使うことで、対数関数が一価になり、

 

と書くことができるようになる。

指数関数編集

  を複素数( )とするときの指数   について考えるとき、一般には zαeα log z として定義する。ここで Log でなく log を使うと、eα log z は多価関数となる。Log を使えば以下の形で zα の主値を取ることができる。

 

平方根編集

複素数  平方根の主値は以下のようになる。

 

ここで偏角は   の範囲である。

複素数の偏角編集

 
atan と atan2 の比較

ラジアンで表される複素数の偏角の主値は、以下のどちらかで定義されることが多い。

  •  
  •  

逆正接関数をプロットすれば、これらの値を見ることができる。

  • atan2英語版  の範囲
  • atan  の範囲

関連項目編集

外部リンク編集

  • Weisstein, Eric W. "Principal Value". MathWorld(英語).