乗法的関数

数学の関数の種類の一つ

数論における乗法的関数(じょうほうてきかんすう、: multiplicative function)とは、正の整数 n数論的関数 f(n) であって、f(1) = 1 であり、ab互いに素であるなら

f(ab) = f(a) f(b)

が成り立つようなもののことである。

数論的関数 f(n) が、ab が互いに素でない場合においてもつねに、f(1) = 1、f(ab) = f(a) f(b) が成り立つ時、完全乗法的英語版であると呼ばれる。

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  • gcd(n,k) : nk最大公約数k を固定して、n の関数とみなした場合)
  • 任意の整数 k に対する  
  • 指数関数: 任意の正数 C に対する  
  • メビウス関数:  
    •  
  • 約数関数: n の約数の個数を表す  
    •  
  • k約数和関数:  
    •  
  • n の正の奇数の約数の個数を表す  
    •  
  • n の正の奇数の約数の和を表す  
    •  
  • オイラー関数:  
    •  
  • ディリクレ指標:  
  • リウヴィルのラムダ関数:  (ただし、 n素因数の重複も含めた総数)
  • ラマヌジャンの和関数:

 

  • ラマヌジャンの τ 関数:  
    •   は、 n 次の係数
  • 任意の正整数 k に対する、 (ただし、 n異なる素因数の総数)

参考文献編集

  • Weisstein, Eric W. "Multiplicative function". MathWorld(英語).

関連項目編集