二人零和有限確定完全情報ゲーム

二人零和有限確定完全情報ゲーム（ふたりゼロわゆうげんかくていかんぜんじょうほうゲーム）は、ゲーム理論によるゲームの分類の一つ。

概要編集

二人：プレイヤーの数が二人
零和（「ゼロ和」と読むのが一般的だが「レイワ」とも読む）：プレイヤー間の利害が完全に対立し、一方のプレイヤーが利得を得ると、それと同量の損害が他方のプレイヤーに降りかかる
有限：ゲームが必ず有限の手番で終了する
確定：サイコロのようなランダムな要素が存在しない
完全情報：全ての情報が両方のプレイヤーに公開されている

という特徴を満たすゲームのことである^[1]。伝統的なボードゲームの多くがこのカテゴリに属する（詳細は「#具体例」を参照）。

なお、

ゲーム理論でいうプレーヤーとはゲームを行う際にゲームの着手を決定する、意思決定する主体を指す。コンピュータであっても良く、また、最終的に意思決定が一つに定まるのであれば、二人以上のチームであっても良い。
零和ゲームは上述のように一方のプレイヤーの利得と他方のプレイヤーの利得（＝損害をマイナスしたもの）の合計が0である事が求められるが、合計が0でなくとも定数和であれば、零和ゲームに簡単に変換できる事が知られている。
「確定」と「完全情報」の意味合いがわかりにくいので補足すると、すごろく（周り双六）やバックギャモンはサイコロを使うため確定ゲームではないが、サイコロの出た目を含めゲームの全ての情報は全プレイヤーに公開されているので完全情報ゲームである。一方じゃんけんはサイコロのような乱数を生成する道具を使わないので確定ゲームであるが、相手がどんな手（グー、チョキ、パー）を出すかという情報を知らない状態で自分の手を決めねばならないので完全情報ゲームではない。

具体例編集

チェス・将棋・チェッカー・リバーシ・石取りゲーム（ニム）・囲碁・連珠・五目並べ・三目並べ（○×ゲーム）・シャンチー・マンカラ・ツイクストなど、盤面にすべての要素や情報が表れており、勝敗が完全にプレイヤーの実力に依存し、サイコロや配牌といった「運」に左右されないボードゲームの多くが、二人零和有限確定完全情報ゲームに相当する。

ただし

囲碁は、日本囲碁規約の規定上は三劫以上の多元劫、長生、循環劫などの状態になった場合、対局者が合意しないと勝負は無限に継続される^[2]ため、厳密には有限ゲームではない。
将棋も千日手に絡み、勝利とみなすか、引き分けとみなすか、敗北とみなすかが現行ルールで定まっていない局面が存在することが、「最後の審判」と名付けられた詰将棋を例にして示されている。
チェスでは千日手（スリーフォールド・レピティション）や戦力不足（双方駒が減りすぎて勝敗がつかない事）になっても、いずれかの対局者が申し立てをしない限りゲームは続くため、厳密には有限ゲームではない。

特徴編集

二人零和有限確定完全情報ゲームの特徴は、理論上は完全な先読みが可能であり、双方のプレーヤーが最善手をプレイし続ければ、必ず先手必勝か後手必勝か引き分けかが決まるという点である。実際には選択肢が多くなると完全な先読みを人間が行う事は困難であるため、ゲームとして成立する。例えば将棋やチェスなどは理論上は結果が決まっているが、具体的にどうなるかを求めることは事実上不可能である。

双方のプレーヤーが最善手をプレイし続けた場合の勝敗が判明しているゲームの例として、以下のものなどがある。

先手必勝: 初期ルールの五目並べ^[3]
後手必勝: 6×6のリバーシ^[4]、どうぶつしょうぎ^[5]、十六むさし^[6]
引き分け: 三目並べ^[7]、チェッカー^[8]

厳密な定義編集

二人零和有限確定完全情報ゲームは厳密には二人展開型ゲーム^[9]として定義される。以下プレイヤーの名前をA、Bとすると、

二人展開型ゲームが零和であるとはAの利得関数E_AとBの利得関数E_BがE_A＝-E_Bを満たす事を言う^[9]
二人展開型ゲームが有限であるとはゲーム木が有限グラフである事を言う
二人展開型ゲームが確定であるとは偶然手番が存在しない事を言う
二人展開型ゲームが完全情報であるとは全ての情報集合が唯一つの手番からなる事を言う^[9]