二体問題(にたいもんだい、: Two-body problem)は、古典力学において互いに相互作用を及ぼす2つの点の動きを扱う問題と定義できる。身近な例としては、惑星の周りを回る衛星恒星の周りを回る惑星、共通重心英語版の周りを回る連星や、原子核の周りを回る古典的な電子などである。

全ての二体問題は、独立した一体問題に帰着させて解くことができる。しかし、三体問題やそれ以上の多体問題は、特別な場合を除いて解くことはできない。

Orbit5.gif Orbit2.gif

問題の記述編集

  を2つの物体の位置、  を2つの物体の質量とすると、二体問題の目的は全ての時間 に対して軌跡 及び を確定させることである。

最初の位置を

  

最初の速さを

  

と置くと、運動の第2法則により

 
 

と書ける。ここで、

  は質量1が質量2から受ける力であり、
  は質量2が質量1から受ける力である。

この連立方程式を加減して、2つの一体問題に帰着させ、解くことができる。式1と式2を足すと、重心の運動を表す方程式になる。式1から式2を引くと、ベクトル の経時変化となる。2つの解を組み合わせることで、軌跡  が記述できる。

重心の動き編集

式1と式2を足すと、

 

となる。ここで運動の第3法則 を使うと、

 

となり、これは重心の位置を表す。ここから得られる式

 

は、重心の速度 と、 全運動量 が一定であることを意味する。 つまり、重心の位置と速度は、初期位置と初期速度から一意に決まる。

変位ベクトルの動き編集

上の式を相対質量で割り、1式から2式を引くと、

 

が得られる。ここで、 は、質量2から質量1への変位ベクトルである。

2つの物体に働く力は の関数となり、  の絶対値には関係しない。 この式は次のように書ける。

 

ここで 換算質量であり、

 

である。

  を使うと、軌跡の方程式は

 
 

と書ける。

関連項目編集