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算術における四乗数(しじょうすう、よんじょうすう、: bi­quadratic number; 複平方数[注 1])あるいは二重平方数[1]とは、狭義には自然数の四乗 (fourth power) すなわち「平方の平方」 (bi­quadratic)

n4 = n3 × n = n × n3 = n2 × n2 = n × n × n × n

になっているような数 (forth power of n) を言う(「数」として、広義では整数有理数あるいはより一般ので考える場合もある)。図形数として、八胞体上に並べた点の数として表されるため八胞体数(はちほうたいすう、: tesseractic number)ともいう(平方数を「四角数」、三乗数を「立方体数」(六面体数)と呼ぶものの四乗版)。

最小の四乗数は 14 = 1 であり、四乗数は無数にある。小さい数から順に列記すると

1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, 14641, 20736, … (オンライン整数列大辞典の数列 A000583)

である。

目次

性質編集

四乗数n4 は (n2)2 と変形されるため全て平方数である。

一般に p4 は 1, p, p2, p3, p4 の5つの約数を持つ(pは素数)。例えば 24 の約数は 1(=20), 2(=21), 4(=22), 8(=23), 16(=24) の5つである。逆に、約数を5つだけ持つ自然数は素数の四乗に限られる。

四乗数の逆数総和  である。(リーマンゼータ函数の特殊値を参照)

また一万一億一兆などの数は 104n = (10n)4 と表されるので全て四乗数である。

四乗数の下2桁は、十進法では 00, 01, 16, 21, 25, 36, 41, 56, 61, 76, 81, 96 の12通りの内いずれかである。 したがって、5で割った余りは必ず0か1になる。

全ての自然数は高々19個の四乗数の和で表すことができる。また十分大きな自然数は高々16個の四乗数の和として表すことができる。(→ウェアリングの問題

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  1. ^ 別に bi­quadratic という形容は「複二次」ということを強調するものではない。そもそも接頭辞 "quadr-" は "4" を意味するので、quadratic は「4つの」「四次の」という意味のはずだが、四辺形 (square) の面積 "ex quadrem" が「平方」を意味し、それに伴って二次方程式や二次形式などで quadratic が「二次の」という意味で多用される中で、「四次の」を意味するために冗長ながら「二回」を意味する接頭辞 bi- を附した bi­quadratic を使うことになったという事情による (コンウェイ & ガイ 2001)。したがって、和訳語としては単に「四乗」を対応させるのが自然であると思われる。

参考文献編集

  • J.H.コンウェイ、R.K.ガイ『数の本』根上生也訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、2001年。ISBN 978-4431707707
  1. ^ 上垣渉『はじめて読む数学の歴史』ベレ出版、2006年。ISBN 978-4860641108

関連項目編集

外部リンク編集