位取り記数法

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位取り記数法（くらいどりきすうほう）、もしくは「N 進法」（エヌしんほう）とは、数の表現方法の一種で、あらかじめ定められたN 種類の記号（数字）を列べることによって数を表す方法である。(位取りのことを桁ともいう。)

今日の日本において通常使われているのは、 N が十である十進法であるが、コンピューターでは二進法、八進法、十六進法といった「二の冪数」進法が用いられている。用語としては、「十進法」など「N進法」は「N進位取り記数法」を意味する語ではあるが、記数法以外にも「N進（Nで桁上がりする）命数法」という意味や、単に「ある特定の単位から上の単位を作る、冪乗による規則」という意味でも使用される。一方で、「N進法」はほぼ「base-N positional system」「N進位取り記数法」の意味でしか使われない。

本項ではN が自然数の場合を扱う。それ以外の場合については広義の記数法の記事を参照のこと。また後述するp進数の概念とは（関連があるものの）別概念であるので注意が必要である。

概要編集

基本構造

位取り記数法では、一つの列に N 個の数字と呼ばれる記号で数を表現し、一つの列に N 個の数字を容れて、N に達したら数列を一つ増やす。数字を容れる一つの列を桁（けた）といい、桁の意味する数を位（くらい）という。このN個の中には、必ず零を意味する数字が含まれ、桁の基数 N は「10」というように「整数第二位が"一"で整数第一位が"零"」として表記される。この「N進」と呼ばれる数列は、「Nの倍数」(Nの倍加)ではなく、「Nの冪数」(Nの冪乗)で進む。即ち、ここでの「進」とは「桁」を進めることである。

より派生して、Nの2乗は「100」、Nの3乗は「1000」、Nで1回分割は「0.1」、Nで2回分割は「0.01」、Nで3回分割は「0.001」として表記される。このように、整数第一位（N⁰）を「一の位」、整数第二位（N¹）を「Nの位」、整数第三位（N²）を「N²の位」、整数第四位（N³）を「N³の位」、小数第一位（N^-1、1÷N¹）を「N分の一の位」、小数第二位（N^-2、1÷N²）を「N²分の一の位」、小数第三位（N^-3、1÷N³）を「N³分の一の位」として数を表現する。

定義

以下、非負の有限小数の場合のみを扱うが、無限小数の場合も同様である。

なお以下、「数字」という言葉を通常よりかなり広範な意味に用いており、アラビア数字、漢数字、マヤ数字、英語のアルファベットなどを含めた任意の記号を指している事に注意されたい。

自然数 N を一つ固定する。( N をこの記数法の底（てい）または基数という)。

さらに N 個の記号 ${\mathfrak {c}}_{0},\ldots ,{\mathfrak {c}}_{N-1}$ を固定する。(例えばアラビア数字とアルファベットで十六進法を表す場合は、N =16 で、 ${\mathfrak {c}}_{0}=\mathbf {0} ,\ldots ,{\mathfrak {c}}_{9}=\mathbf {9} ,{\mathfrak {c}}_{10}=\mathbf {A} ,\ldots ,{\mathfrak {c}}_{15}=\mathbf {F}$ )。

さらに各 ${\mathfrak {c}}_{j}$ に対し、

\ell ({\mathfrak {c}}_{j})=j

と定義する。

このとき、記号 ${\mathfrak {c}}_{0},\ldots ,{\mathfrak {c}}_{N-1}$ を数字として用いた N 進法とは、自然数 n 、 m を用いた

a_{n}a_{n-1}\cdots a_{1}a_{0}.a_{-1}\cdots a_{-m},~~~~~a_{-m},\ldots ,a_{n}\in \{{\mathfrak {c}}_{0},\ldots ,{\mathfrak {c}}_{N-1}\}

という形に表記( N 進表記、もしくは N 進数表記)に非負の実数

\sum _{i=-m}^{n}\ell (a_{i})N^{i}

を対応させる表記体系の事である。

N 進表記された数という意味で「N 進数」という呼称を使用することもある。

N 進数表記の先頭に「+」もしくは「-」の符号をつけることで、数の正負を表現することもできる。

符号をつけた場合の N 進数表記の詳細な説明は省略する。

適用例編集

十進法編集

「漢数字#位取り記数法」も参照

数列

今日の日本において最も身近な十進法を例に説明する。十進法では、十個の数字と呼ばれる記号を用い、一桁に十個の数字を容れて、十倍毎に桁を増やす。数列は、十、二十、三十といった「十の倍数」ではなく、十、百、千といった「十の冪数」で進む。

アラビア数字なら

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9

の十個であり、漢数字なら

〇、一、二、三、四、五、六、七、八、九

の十個である^[1]。以下、アラビア数字を例に説明するが、漢数字の場合も同様である。

十進法ではこれらの数字を列べる事で数を表現する。例えば、253.48は、

2\times 10^{2}+5\times 10^{1}+3+4\times {\frac {1}{10^{1}}}+8\times {\frac {1}{10^{2}}}

を表す。

また十進法では、以下の性質が満たされる。

整数では、十倍する毎に一桁増え、十分割する毎に一桁減る。
一桁で表せる数は10-1=9までで、10以降は二桁以上を必要し、100以降は三桁以上を必要とする。
小数では、十分割する毎に一桁増え、十倍する毎に一桁減る。
単位は、20や30といった10の倍数ではなく、100や1000といった10の冪数で設定される。

例えば、単位も記数法も十進法であるメートル法の単位は、倍増の接頭辞として「ヘクト」や「キロ」、分割の接頭辞として「センチ」や「ミリ」などが使用されている。これらは、例えば 1 キロメートルは十の3乗（10³）である 1000 メートル、1 センチメートルは十で2回分割（10^-2）した 1/100 メートル、1 ミリメートルは十で3回分割（10^-3）した 1/1000 メートルであり、1080 メートルや 1/30 メートルといった「十の倍数」や「1 ÷ 十の倍数」でもなく、200 メートルや 1/3000 メートルといった「十の冪数のM倍」や「1 ÷ 十の冪数のM倍」でもない。

N 進法は、以上の十進法の説明を、その他の N の場合に敷衍する事で得られる。

Nが十未満編集

例えば四進法をアラビア数字で表した場合、使う数字は

0、1、2、3

の四種類の記号であり、四進法における312.02は、

3\times 4^{2}+1\times 4^{1}+2+0\times {\frac {1}{4^{1}}}+2\times {\frac {1}{4^{2}}}

を表し、これは十進法の54.125にあたる。

また四進法では、十進法に類似した以下の性質が満たされる。

整数では、四倍する毎に一桁増え、四分割する毎に一桁減る。
一桁で表せる数は4-1=3までで、4以降は二桁以上を必要とし、16以降は三桁以上を必要とする。
小数では、四分割する毎に一桁増え、四倍する毎に一桁減る。
単位は、8や12といった4の倍数ではなく、16や64といった4の冪数で設定される。

以上の話でも分かるように、同じ「312.02」でも四進法のものと十進法のものでは値が異なる。このため、位取り記数法の話をするときには、常に何進法の話であるのかを明示する必要がある。

Nが十を超過編集

十二進法、十六進法、二十進法のように、N が十より大きい場合は用いる数字は、アラビア数字だけでは足りなくなる。そこで、十以上の数を表記する「数字」として、ラテン文字のアルファベットの大文字を用いる事が多い。なお、漢数字を使う際には、アルファベット大文字に相当する十干を用いて、十を「甲」、十一を「乙」、十二を「丙」…と表記することになる。

例えば十六進法であれば、「数字」として

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F

を用い、A、B、C、D、E、Fはそれぞれ十進法の自然数10、11、12、13、14、15を表す。

従って例えば2F3.A7は

2\times 16^{2}+15\times 16^{1}+3+10\times {\frac {1}{16^{1}}}+7\times {\frac {1}{16^{2}}}

を表し、これは十進法の755.652344にあたる。

また、十六進法では、以下の性質が満たされる。

整数では、十六倍する毎に一桁増え、十六分割する毎に一桁減る。
一桁で表せる数は十進表記の16-1 = 15（F）までで、16以降は二桁以上を必要し、256以降は三桁以上を必要とする。
小数では、十六分割する毎に一桁増え、十六倍する毎に一桁減る。
単位は、32や48といった16の倍数ではなく、256や4096といった16の冪数で設定される。

基数の明記編集

同じ「312.02」でも、四進法と十進法では値が異なる。そこで四進法であることを明記するため、Nが十未満である場合には、一桁の下付き数字を付けて

312.02₄

或いは数字本体か下付きのどちらかを括弧で

(312.02)₄

312.02₍₄₎

と表記する事もある。

なお、Nが十以上である場合には、十以上の数字にアルファベット大文字を充てている事から、アルファベット大文字を用いた

(864)_A = (600)_C = (360)_G = (234)_K

864_(A) = 600_(C) = 360_(G) = 234_(K)

とも表記できる。また、

(864)₁₀ = (600)₁₂ = (360)₁₆ = (234)₂₀

864₍₁₀₎ = 600₍₁₂₎ = 360₍₁₆₎ = 234₍₂₀₎

というように十を「A」ではなく「10」、十二を「C」ではなく「12」というように十進表記の複数桁で表記する方も一般的である。

また、括弧書きではなく「N進法」という語を付ける場合には、前付きでも後付きのどれでも通じる。例えば、「十二進法の600」は、"duodecimal 600" や "dozenal 600"の前付きでも、"600 duodecimal" や "600 dozenal"の後付きの両方とも可能である。この場合、"duodecimal six zero zero"や"six zero zero dozenal"というように数字を棒読みする。

コンピューターで特に重要性の高い二進数、八進数、十進数、十六進数には、固有の表記もある。ただし、コンピューター言語により表記方法が若干異なる場合もある。

0b101 ： (101)₂の意味
0o306 ： (306)₈の意味
0d248 ： (248)₁₀の意味
0xF4C ： (F4C)₁₆の意味

各進法への置換例編集

以下の表に、代表的なN進法の位数と換算値を掲載する。底の特徴として、二と十六は「二の冪数」、三と九は「奇数」「三の冪数」、六と十は「奇数の二倍」、十二と二十は「奇数の四倍」が挙げられる。

各進法の位数
進法	整数第五位	整数第四位	整数第三位	整数第二位	整数第一位	小数第一位	小数第二位	小数第三位
二進法	(16)₁₀の位	(8)₁₀の位	(4)の位	(2)₁₀の位	1の位	(1/2)₁₀の位	(1/4)₁₀の位	(1/8)₁₀の位
三進法	(81)₁₀の位	(27)₁₀の位	(9)₁₀の位	(3)₁₀の位	1の位	(1/3)₁₀の位	(1/9)₁₀の位	(1/27)₁₀の位
六進法	(1296)₁₀の位	(216)₁₀の位	(36)₁₀の位	(6)₁₀の位	1の位	(1/6)₁₀の位	(1/36)₁₀の位	(1/216)₁₀の位
十進法	(10000)₁₀の位	(1000)₁₀の位	(100)₁₀の位	(10)₁₀の位	1の位	(1/10)₁₀の位	(1/100)₁₀の位	(1/1000)₁₀の位
十二進法	(20736)₁₀の位	(1728)₁₀の位	(144)₁₀の位	(12)₁₀の位	1の位	(1/12)₁₀の位	(1/144)₁₀の位	(1/1728)₁₀の位
十六進法	(65536)₁₀の位	(4096)₁₀1の位	(256)₁₀の位	(16)₁₀の位	1の位	(1/16)₁₀の位	(1/256)₁₀の位	(1/4096)₁₀の位
二十進法	(16万)₁₀の位	(8000)₁₀の位	(400)₁₀の位	(20)₁₀の位	1の位	(1/20)₁₀の位	(1/400)₁₀の位	(1/8000)₁₀の位

各進法での整数の表記
二進表記	三進表記	六進表記	十進表記	十二進表記	十六進表記	二十進表記
0	0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1	1
10	2	2	2	2	2	2
11	10	3	3	3	3	3
100	11	4	4	4	4	4
101	12	5	5	5	5	5
110	20	10	6	6	6	6
111	21	11	7	7	7	7
1000	22	12	8	8	8	8
1001	100	13	9	9	9	9
1010	101	14	10	A	A	A
1011	102	15	11	B	B	B
1100	110	20	12	10	C	C
1101	111	21	13	11	D	D
1110	112	22	14	12	E	E
1111	120	23	15	13	F	F
10000	121	24	16	14	10	G
10001	122	25	17	15	11	H
10010	200	30	18	16	12	I
10011	201	31	19	17	13	J
10100	202	32	20	18	14	10
10101	210	33	21	19	15	11
11011	1000	43	27	23	1B	17
11110	1010	50	30	26	1E	1A
100100	1100	100	36	30	24	1G
111100	2020	140	60	50	3C	30
1010001	10000	213	81	69	51	41
1100100	10201	244	100	84	64	50
10010000	12100	400	144	100	90	74
11011000	22000	1000	216	160	D8	AG
100000000	100111	1104	256	194	100	CG
101101000	111100	1400	360	260	168	I0
110010000	112211	1504	400	294	190	100
1011011001	1000000	3213	729	509	2D9	1G9
1111101000	1101001	4344	1000	6B4	3E8	2A0
10001111110	1120121	5154	1150	7BA	47E	2HA
11011000000	2101000	12000	1728	1000	6C0	468
1000000000000	12121201	30544	4096	2454	1000	A4G
1100110100001	100000000	50213	6561	3969	19A1	G81
1111101000000	101222022	101012	8000	4768	1F40	1000
10000111000000	102212000	104000	8640	5000	21C0	11C0

このように、数字の種類が少なければ桁数が多くなり、逆に桁数が少なければ数字の種類が多くなる。例えば、六進法では「5154個」、十進法では「1150個」で共に四桁になる個数が、二進法だと「10001111110個」で十一桁、三進法だと「1120121個」で七桁に増え、十二進法では「7BA個」、二十進法では「2HA個」で共に三桁に減る。同様に、三進法では「100000000円」と表示され大威張りできるような金額は、六進法では「50213円」、九進法でも「10000円」と表示されるが、逆に十進法だと「6561円」であり、九進法以前が五桁以上に対して、十進法以降は四桁以下になる。

小数の数列（0.1ずつ加算）
二進表記	三進表記	六進表記	十進表記	十二進表記	十六進表記	二十進表記
0	0	0	0	0	0	0
0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1
1	0.2	0.2	0.2	0.2	0.2	0.2
1.1	1	0.3	0.3	0.3	0.3	0.3
10	1.1	0.4	0.4	0.4	0.4	0.4
10.1	1.2	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5
11	2	1	0.6	0.6	0.6	0.6
11.1	2.1	1.1	0.7	0.7	0.7	0.7
100	2.2	1.2	0.8	0.8	0.8	0.8
100.1	10	1.3	0.9	0.9	0.9	0.9
101	10.1	1.4	1	0.A	0.A	0.A
101.1	10.2	1.5	1.1	0.B	0.B	0.B
110	11	2	1.2	1	0.C	0.C
110.1	11.1	2.1	1.3	1.1	0.D	0.D
111	11.2	2.2	1.4	1.2	0.E	0.E
111.1	12	2.3	1.5	1.3	0.F	0.F
1000	12.1	2.4	1.6	1.4	1	0.G
1000.1	12.2	2.5	1.7	1.5	1.1	0.H
1001	20	3	1.8	1.6	1.2	0.I
1001.1	20.1	3.1	1.9	1.7	1.3	0.J
1010	20.2	3.2	2	1.8	1.4	1
1010.1	21	3.3	2.1	1.9	1.5	1.1
1011	21.1	3.4	2.2	1.A	1.6	1.2

各進法での負の整数
二進表記	三進表記	六進表記	十進表記	十二進表記
−110	−20	−10	−6	−6
−101	−12	−5	−5	−5
−100	−11	−4	−4	−4
−11	−10	−3	−3	−3
−10	−2	−2	−2	−2
−1	−1	−1	−1	−1
0	0	0	0	0

可分性編集

en:Divisibility ruleといえば通常は整数の範囲で割り切れるかどうかを問う整除の問題であるが、以下では有限小数として割り切れるかどうかについて述べる。

単位分数の可分性は、N の約数にどれが含まれているかで決まるが、より明確には N を素因数分解した時にどの素因数が含まれているかで決まる。従って、単に約数が多いというだけではなく、約数が素因数分解した時にどんな数になるかも見なければならない。

不可分の例として：
「八進法は 1/3 も 1/5 も割り切れない」
「十進法は 1/3 が割り切れない」
「十二進法は 1/5 が割り切れない」
「十五進法は 1/2 も 1/4 も割り切れない」
「十六進法は 1/3 も 1/5 も割り切れない」
が挙げられる。これらの要因は、八や十六は奇数（3や5など）が約数に含まれていないから、九や十五は偶数（2や4など）が約数に含まれていないから、十には3が約数に含まれていないから、十二には5が約数に含まれていないからである。各数を素因数分解すると、八は2³、十六は2⁴、九は3²、十五は3×5、十は2×5、十二は2²×3となる。

具体的に見ると、四進法、八進法、十六進法は、Nの約数が2の冪数しか無いため、「2でしか割り切れない」。これらは「1/奇数」に変換できる小数が無く、1/3 や 1/5 といった奇数分割は不可能で、偶数でも 1/6｛六分割。1÷(2×3)｝や 1/A｛十分割。1÷(2×5)｝や 1/C｛十二分割。1÷(2²×3)｝や 1/K｛二十分割。1÷(2²×5)｝といった「1 ÷ (2^p×奇数)」は割り切れない。同じく、九進法は、Nの約数が3しか無いため、「3でしか割り切れない」。こちらは「1/偶数」に変換できる小数が無く、1/2 や 1/4 や 1/6 といった偶数分割は不可能で、奇数でも因数が3だけでない限りは割り切れない。これら八進法や九進法や十六進法に共通する要素は、冪数進法で「素因数が一つだけ」である。

逆に、六進法は「2と3でしか割り切れない」、十進法は「2と5でしか割り切れない」が、可分性の基礎である素因数の数は、八進法や十六進法といった「二の冪数進法」を上回る。素因数分解すると、六は「2×3」、十は「2×5」と素因数を二つ持っているのに対して、八は「2³」、十六は「2⁴」で素因数が「2」だけしか無い。十六の約数である2, 4, 8は、全て2の冪数に過ぎない。小数を既約分数に変換すると、六進法はm/3、十進法はm/5の小数が現れるのに対して、八進法など「二の冪数進法」は「m/奇数」となる小数が現れないし、九進法は「三の冪数進法」なので「m/偶数」となる小数が現れない。

Nの平方数も、三十六である(100)₆は4（＝2²）でも3でも9（＝3²）でも二十七（＝3³）でも割り切れる（※二十七分割は (100÷43 = 1.2)₆ で有限小数となる）し、百である(100)₁₀は4（＝2²）でも5でも二十五（＝5²）でも割り切れるのに対して、六十四である(100)₈と二百五十六である(100)₁₆は2の冪数でしか割り切れない。

従って、六進法、十進法、十二進法、二十進法などは、8がNの約数に含まれていないが、1÷8 は割り切れる。これは、8が2³であり、Nが偶数なので2が約数に含まれているからである。また、六進法や十二進法は、9がNの約数に含まれていないが、1÷9 は割り切れる。これは、9が3²であり、3がNの約数に含まれているからである。

このように、「約数の多さ」ではなく、「素因数の多さ」が可分性を広げるという事である。

小数の既約分数への変換（含仮分数）
小数	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	0.A
六進法	1/6	1/3	1/2	2/3	5/6	1	7/6	4/3	3/2	5/3
八進法	1/8	2/4	3/8	1/2	5/8	3/4	7/8	1	9/8	5/4
九進法	1/9	2/9	1/3	4/9	5/9	2/3	7/9	8/9	1	A/9
十進法	1/A	1/5	3/A	2/5	1/2	3/5	7/A	4/5	9/A	1

各進法の小数と除算
除数	除数の素因数分解	六進法	八進法	九進法	十進法	十二進法	十五進法	十六進法	二十進法
1 ÷ 2	素数	0.3	0.4	0.4444…	0.5	0.6	0.7777…	0.8	0.A
1 ÷ 3	素数	0.2	0.2525…	0.3	0.3333…	0.4	0.5	0.5555…	0.6D6D…
1 ÷ 4	2²	0.13	0.2	0.2222…	0.25	0.3	0.3B3B…	0.4	0.5
1 ÷ 5	素数	0.1111…	0.1463…	0.1717…	0.2	0.2497…	0.3	0.3333…	0.4
1 ÷ 6	2×3	0.1 （1÷10₆）	0.12525…	0.1444…	0.1666…	0.2	0.2777…	0.2AAA…	0.36D6D…
1 ÷ 7	素数	0.0505… （1÷11₆）	0.1111…	0.125…	0.142857…	0.186A35…	0.2222…	0.249…	0.2H2H…
1 ÷ 8	2³	0.043 （1÷12₆）	0.1 （1÷10₈）	0.1111…	0.125	0.16	0.1D1D…	0.2	0.2A
1 ÷ 9	3²	0.04 （1÷13₆）	0.0707… （1÷11₈）	0.1 （1÷10₉）	0.1111…	0.14	0.1A	0.1C7…	0.248HFB…
1 ÷ A	2×5	0.0333… （1÷14₆）	0.06314… （1÷12₈）	0.0808… （1÷11₉）	0.1 （1÷10_A）	0.12497…	0.1777…	0.1999…	0.2

※ 割り切れない小数の循環節は下線で示す。

「素因数が一つだけ」と「素因数が複数」の逆数も、以下のように異なる。「2の冪数」進法の小数は、「素因数が複数」のN進法に換算すると、小数の末尾は奇数か単偶数になる。奇数進法の小数は、「素因数が2と奇数」のN進法に換算すると、小数の末尾は偶数になる。なお、2と3の冪数の関係を判り易くするため、分子・分母の換算値や冪数は六進数で表記し、十進数を下付き(A)で副記する。

2⁸の逆数
N進法	Nの素因数分解	小数の表記	分子の数値	分母の数値	分子の素因数分解	分母の素因数分解
十六進法	2⁴	0.01	1	1104 256_(A)	-	2¹² (2⁸)_(A)
六進法	2×3	0.00050213	50213 6561_(A)	100000000 1679616_(A)	3¹² (3⁸)_(A)	2¹²×3¹² (2⁸×3⁸)_(A)
十進法	2×5	0.00390625	12212241 390625_(A)	13531202544 100000000_(A)	5¹² (5⁸)_(A)	2¹²×5¹² (2⁸×5⁸)_(A)

3⁸の逆数
N進法	Nの素因数分解	小数の表記	分子の数値	分母の数値	分子の素因数分解	分母の素因数分解
九進法	3²	0.0001	1	50213 6561_(A)	-	3¹² (3⁸)_(A)
六進法	2×3	0.00001104	1104 256_(A)	100000000 1679616_(A)	2¹² (2⁸)_(A)	2¹²×3¹² (2⁸×3⁸)_(A)
十二進法	2²×3	0.00031B14	1223224 65536_(A)	110400000000 429981696_(A)	2²⁴ (2¹⁶)_(A)	2²⁴×3¹² (2¹⁶×3⁸)_(A)

表記の一意性に関して編集

この節では特に断りがない限り十進数について述べるが、他の基数についても同様である。

実数の N 進表記は一意ではない。よく知られているように、

1=1.000…=0.999…

である。また、以下のように、上位桁に不要な0を付け加えることもできる

0013=13

通常は「0013」のような表記は許さないとする事が多いが、コンピューターなどでは、最大で4桁の整数値であることを示すため、あえて「0013」のような表記をする場合がある。

以上のような例をのぞくと0以外の実数は一意に表現できる。

しかし0のみは

「+0」、「-0」

の二通りの表記が可能である(いわゆる負のゼロの問題)。これが原因で、コンピューター・プログラムでは0のみ例外処理を求められる場合がある。

また、一般には0は1桁の数とされているが、ルールを優先し1桁の数と認めない場合もある(覆面算#ルール)。

表計算ソフトの列名などで用いられている、A, B, ..., Z, AA, AB, ... のような形式は、位取り記数法の一種と考えることができ、かつ0より大きい整数を一意に表せる。(en:Bijective numeration)

底の変換アルゴリズム編集

与えられた非負整数 T を、記号 ${\mathfrak {c}}_{0},\ldots ,{\mathfrak {c}}_{N-1}$ を数字として用いた N 進表記

a_{r}\cdots a_{0}

で表すには、以下のアルゴリズムを用いればよい。

なお、このアルゴリズムは、 M ≠ NによりM 進表記されている T を N 進表記に書き換えるときに使われる事が多いので、このアルゴリズムを底の変換アルゴリズムと呼ぶ。

入力T を受け取る。
T=0 なら ${\mathfrak {c}}_{0}$ を出力して停止。
iを0に初期化
while(T≠0){
- T を N で割った商を T' 、余りを k とし、 $a_{i}\gets {\mathfrak {c}}_{k}$ とする。
- T ←T'、i←i+1
}
r←i-1
$a_{r}\cdots a_{0}$ を出力

なお、T >0に対しては等式

r=\left\lfloor \log _{N}T\right\rfloor

が知られている(なお、添え字を0から始めているので、T の桁数はr +1) 。ここで $\left\lfloor x\right\rfloor$ は床関数である。

底の変換例編集

十進法→五進法への変換

十進法の 5213 を五進法に置き換える場合、5で割っていき、商が5未満になった時点で止める。余り無しの場合は 0 を明記する。商が5未満になったら、最後の商を先頭にして、最初の余りを末尾にして列べる。

5213 ÷ 5 = 1042 余り 3
1042 ÷ 5 = 208 余り 2
208 ÷ 5 = 41 余り 3
41 ÷ 5 = 8 余り 1
8 ÷ 5 = 1 余り 3
1 ÷ 5 = 0 余り 1

から、5213 = 3 + 2 × 5 + 3 × 5² + 1 × 5³ + 3 × 5⁴ + 1 × 5⁵ となるので、五進表記では 131323 と表すことができる。また、5⁵ = 3125, 5⁶ = 15625 であるから、5⁵ ≤ 5213 < 5⁶ が成り立っているので、対数を取ると

5\leq \log _{5}5213<6

となり、

r=\left\lfloor \log _{5}5213\right\rfloor =5

が分かる。

十進法以外→十進法以外への変換

十進法以外のN進法も同様で、例えば3⁸に当たる六進法の 50213 を十六進法に置き換える場合も、商が24₍₆₎ = 10_(G) を下回るまで24で割っていく。

50213 ÷ 24 = 1522 余り 1
1522 ÷ 24 = 41 余り 14
42 ÷ 24 = 1 余り 13

以上より、1, 13, 14, 1の列になり、13₍₆₎ = 9_(G)、14₍₆₎ = A_(G) なので、十六進法では 19A1 となる。

同値の整数

二百七十の表記は、以下の通りになる。（便宜上、計算式を十進法で表記する）

二進法 (100001110)₂ : 270 = 256 + 14 = 2⁸ + 2³ + 2² + 2¹
六進法 (1130)₆ : 270 = 216 + 54 = 1×6³ + 1×6² + 3×6¹
八進法 (416)₈ : 270 = 256 + 14 = 4×8² + 1×8¹ + 6
九進法 (330)₉ : 270 = 243 + 27 = 3×9² + 3×9¹
十進法 (270)₁₀ : 270 = 200 + 70 = 2×10² + 7×10¹
十二進法 (1A6)₁₂ : 270 = 144 + 126 = 1×12² + 10×12¹ + 6
十六進法 (10E)₁₆ : 270 = 256 + 14 = 1×16¹ + 0×16¹ + 14
十八進法 (F0)₁₈ : 270 = 270 + 0 = 15×18¹
二十進法 (DA)₂₀ : 270 = 260 + 10 = 13×20¹ + 10

意味する数

整数「234」の意味する数は、以下の通りになる。（便宜上、計算式を十進法で表記する）

六進法 (234)₆ : (94)₁₀ = 72 + 18 + 4 = 2×6² + 3×6¹ + 4
八進法 (234)₈ : (156)₁₀ = 128 + 24 + 4 = 2×8² + 3×8¹ + 4
九進法 (234)₉ : (193)₁₀ = 162 + 27 + 4 = 2×9² + 3×9¹ + 4
十進法 (234)₁₀ : (234)₁₀ = 200 + 30 + 4 = 2×10² + 3×10¹ + 4
十二進法 (234)₁₂ : (328)₁₀ = 288 + 36 + 4 = 2×12² + 3×12¹ + 4
十六進法 (234)₁₂ : (564)₁₀ = 512 + 48 + 4 = 2×16² + 3×16¹ + 4
十八進法 (234)₁₈ : (706)₁₀ = 648 + 54 + 4 = 2×18² + 3×18¹ + 4
二十進法 (234)₂₀ : (864)₁₀ = 800 + 60 + 4 = 2×20² + 3×20¹ + 4

小数「0.5」の意味する数は、以下の通りになる。（便宜上、計算式を十進法で表記する）

六進法 (0.5)₆ : (5/6)₁₀ = 十進法で 0.8333…
八進法 (0.5)₈ : (5/8)₁₀ = 十進法で 0.625
九進法 (0.5)₉ : (5/9)₁₀ = 十進法で 0.5555…
十進法 (0.5)₁₀ : (5/10)₁₀ = 1/2
十二進法 (0.5)₁₂ : (5/12)₁₀ = 十進法で 0.41666…
十六進法 (0.5)₁₆ : (5/16)₁₀ = 十進法で 0.3125
十八進法 (0.5)₁₈ : (5/18)₁₀ = 十進法で 0.2777…
二十進法 (0.5)₂₀ : (5/20)₁₀ = 1/4 = 十進法で 0.25

四則計算を含めた変換

上記の通り、十二進法の 500 は七百二十であり、十進法では 720 と表記される。従って、十二進法の"500 ÷ 14 = 39"は、以下のように変換される。

十二進法 : (500)₁₂ ÷ (14)₁₂ = (39)₁₂
六進法に換算 : (3200)₆ ÷ (24)₆ = (113)₆
十進法に換算 : (720)₁₀ ÷ (16)₁₀ = (45)₁₀
十六進法に換算 : (2D0)₁₆ ÷ (10)₁₆ = (2D)₁₆
十八進法に換算 : (240)₁₈ ÷ (G)₁₈ = (29)₁₈
二十進法に換算 : (1G0)₂₀ ÷ (G)₂₀ = (25)₂₀

“1034 ÷ 11”の商も、以下のようになる。

六進法 (1034)₆ ÷ (11)₆ = {1×6³ + 0×6² + 3×6¹ + 4} ÷ {1×6 + 1} = (54)₆
- 十進法に換算：238 ÷ 7 = 34
十進法 (1034)₁₀ ÷ (11)₁₀ = {1×10³ + 0×10² + 3×10¹ + 4} ÷ {1×10 + 1} = (94)₁₀
十二進法 (1034)₁₂ ÷ (11)₁₂ = {1×12³ + 0×12² +3×12¹ + 4} ÷ {1×12 + 1} = (B4)₁₂
- 十進法に換算：1768 ÷ 13 = 136
二十進法 (1034)₂₀ ÷ (11)₂₀ = {1×20³ + 0×20² + 3×20¹ + 4} ÷ {1×20 + 1} = (J4)₂₀
- 十進法に換算：8064 ÷ 21 = 384

同値の小数への変換

小数を別のN進法に変換する場合には、以下の経過を践む。

変換前と変換後の冪数を列挙する。
小数点以下の元の桁数に合わせて、冪数を掛ける。
端数処理をする。
整数と同じく、冪数を掛けた結果を、変換後のNで割っていく。
変換後のNで割った結果を最後の商→最初の余りの順に列挙する。この列が同値の小数となる。

（例）十進数0.531441 → 十二進数六桁

十進数 1000000 → 2985984（十の六乗→十二の六乗）
531441×2.985984 = 1586874.322944
1586874.322944 → 1586874
1586874÷12 = 132239 余り6
- 132239÷12 = 11019 余り11
- 11019÷12 = 918 余り3
- 918÷12 = 76 余り6
- 76÷12 = 6 余り4
11_(A) = B_(C) なので、6463B6_(C) を列べる。

以上より、十進数0.531441 は、十二進数では約0.6463B6 となる。

（例）十進数0.124053 → 六進数九桁

十進数 1000000 → 10077696（十の六乗→六の九乗）
124053×10.077696 = 1250168.42189
- 変換前の小数が六桁なので、乗数も小数点以下を六桁にする。
1250168.42189 → 1250168
1250168÷6 = 208361 余り2
- 208361÷6 = 34726 余り5
- 34726÷6 = 5787 余り4
- 5787÷6 = 964 余り3
- 964÷6 = 160 余り4
- 160÷6 = 26 余り4
- 26÷6 = 4 余り2
42443452₍₆₎を列べる。分母が 10077696_(A) = 1000000000₍₆₎ なので、小数点以下は9桁になり、先頭に0が1つ加わる。

よって、十進数0.124053 は、六進数では約0.042443452 となる。

同値の小数

十進法の小数 0.625 は、六進法では 0.343 となり、十二進法では 0.76 となり、二十進法では 0.CA となる。いずれも分数に換算すると十進法の 5/8 となる小数であるが、計算式は以下の通りになる。

六進法 (0.343)₆ = (343/1000)₆ = 3×6^-1 + 4×6^-2 + 3×6^-3 = (135/216)₁₀ = (5/8)₁₀
十進法 (0.625)₁₀ = (625/1000)₁₀ = 6×10^-1 + 2×10^-2 + 5×10^-3 = (625/1000)₁₀ =(5/8)₁₀
十二進法 (0.76)₁₂ = (76/100)₁₂ = 7×12^-1 + 6×12^-2 = (90/144)₁₀ = (5/8)₁₀
二十進法 (0.CA)₂₀ = (CA/100)₂₀ = 12×20^-1 + 10×20^-2 = (250/400)₁₀ = (5/8)₁₀

六進法の小数 0.332 は、十二進法では 0.714 となる。分数に換算すると十進法の 16/27（= 2⁴/3³）となる小数であるが、こちらの計算式は以下の通りになる。

六進法 (0.332)₆ = (332/1000)₆ = 3×6^-1 + 3×6^-2 + 2×6^-3 = (128/216)₁₀ = (16/27)₁₀
十二進法 (0.714)₁₂ = (714/1000)₁₂ = 7×12^-1 + 1×12^-2 + 4×12^-3 = (1024/1728)₁₀ = (16/27)₁₀

十進法の小数 0.36 は、二十進法では 0.74 となる。分数に換算すると十進法の 9/25（= 3²/5²）となる小数であるが、こちらの計算式は以下の通りになる。

十進法 (0.36)₁₀ = (36/100)₁₀ = 3×10^-1 + 6×10^-2 = (36/100)₁₀ = (9/25)₁₀
二十進法 (0.74)₂₀ = (74/100)₂₀ = 7×20^-1 + 4×20^-2 = (144/400)₁₀ = (9/25)₁₀

複数の基数の混在編集

「:en:Mixed radix」も参照

十進法では、機械的に十倍、百倍、千倍、一万倍…の順で増える。同じく、十二進法では、機械的に十二倍、百四十四倍、千七百二十八倍、二万七百三十六倍…の順で増える。

しかし、底を2つに分ける場合がある。十進法に対して、二・五進法（十が五進命数法で「二五」なので、区別するため二と五の間に点が必要）では二と五の2つの底があるので、桁が上がる度に五倍→二倍→五倍→二倍…と交互になり、「十の冪数」と「十の冪数の五倍」が交互に現れる。これはそろばんと同じく一桁が「一の位」4つと「五の位」1つで構成される方法だが、計算機にも応用されている。

バビロニアの六十進法もそろばんに似た方法で、一桁が「一の位」9つと「十の位」5つで構成されており、整数は十倍→六倍→十倍→六倍と交互になり、小数は六分の一→十分の一→六分の一→十分の一と交互になる。この方法では、整数第二位は「六十の位」と「六百の位」に分かれ、整数第三位は「三千六百の位」と「三万六千の位」に分かれ、小数第一位は「六分の一の位」と「六十分の一の位」に分かれ、小数第二位は「三百六十分の一の位」と「三千六百分の一の位」に分かれている。

これら二・五進法や六十進法のように複数の底が設定されている場合には、" : " などの区切り符号を付ける。例えば、六十進法で十進法を補助とする場合には、58 → 59 → 1:00 → 1:01 → 1:02 …の順に数列が進む。

日本の通貨（硬貨と紙幣）には、昇順で一円→五円→十円→五十円→百円→五百円→千円→五千円→一万円があるので、通貨を一つの単位と見れば、これは前述の二・五進法である。この配列を見ると、一（10⁰）、十（10¹）、百（10²）、千（10³）、一万（10⁴）が十の冪数であり、五、五十、五百、五千が「十の冪数の五倍」である。

英語表記編集

「倍数接頭辞」も参照

「基数 N 」を英語で、base N という。特定のNに関しては倍数接頭辞を基に名称がついているが、名称の付け方は不規則である。通常、接尾辞が -ary である語は、ラテン語の -arius (～の、～に関する) に由来して、「N 個一組」「N を単位とする」「N 個から成る」を意味する語である。一方、接尾辞が -imal である語は、ラテン語の -imus に由来して、「第 N」「N 分の一」を意味する語である。

以下は「基数 N 」、もしくはより明解に「N 個一組」「N を単位とする」「N 個から成る」という意味の形容詞である。

二：binary
三：ternary
四：quaternary
五：quinary
六：senary
七：septenary
八：octonary, octal
九：novenary
十：denary, decimal
十二：duodenary, duodecimal
十五：quindenary, quindecimal, pentadecimal
十六：sedenary, sedecimal, hexadecimal
十八：octodenary, octodecimal
二十：vicenary, vigesimal
三十：tricenary, trigesimal
六十：sexagenary, sexagesimal

これらを使い、a base-two numberで「二進数」、the base-two numeral systemで「二進法」を表す名詞となる。同様にa binary number、the binary numeral systemでもそれぞれ「二進数」、「二進法」を表す名詞となる。他の基数も同様。

p進数編集

詳細は「p進数」を参照

N 進表記と関連が深い概念として、素数 p 毎に定まる p 進数というものもある。名称は本稿で解説しているN 進表記の別名であるN 進数と同一であるものの、別概念ではある。ただし両者は非常に関連があり、整数の p進表記を（可算）無限桁の自然数の範囲に拡張したものが p進整数で、さらにそこに有限桁の小数部分を許したものが p進数である。ただし「無限桁の整数」（の一部は有理数として再解釈できるもののほとんど）は本稿で扱う普通の数（実数）とは異なる。

脚注・参照編集

^ 専門な注であるが、以下、太字で書かれた数字はシンタックスの体系内の記号であり、太字ではない数字はセマンティクスを記述するメタな記号である。

参考文献編集

ヘンリー・S・ウォーレン・ジュニア『ハッカーのたのしみ（英語版）』 ISBN 4434046683