位取り記数法

「桁」はこの項目へ転送されています。横架材については「桁 (建築)」をご覧ください。

位取り記数法（くらいどりきすうほう）、もしくは「N 進法」（エヌしんほう）とは、数の表現方法の一種で、予め定められたN 種類の記号（数字）を列べることによって数を表す方法である。(位取りのことを桁ともいう。)

今日の日本において通常使われているのは、 N が十である十進法であるが、コンピューターでは二進法、八進法、十六進法といった「二の冪数」進法が用いられている。用語としては、「十進法」など「N進法」は「N進位取り記数法」を意味する語ではあるが、記数法以外にも「N進（Nで桁上がりする）命数法」という意味や、単に「ある特定の単位から上の単位を作る、冪乗による規則」という意味でも使用される。一方で、「N進法」はほぼ「base-N positional system」「N進位取り記数法」の意味でしか使われない。

歴史的には、十の冪乗による記数法や単位系はフランス革命以降に世界規模に拡大したが、それ以前には様々な地域で様々なN進法が使用されていた。記数法のみならず、度量衡や通貨など様々な単位を十の冪乗に変えることは「十進化」という。その逆で、一つではなく、様々なN進法の使用は「多進法化」となる。

本項ではN が自然数の場合を扱う。それ以外の場合については広義の記数法の記事を参照のこと。また後述するp進数の概念とは（関連があるものの）別概念であるので注意が必要である。

概要編集

基本構造

位取り記数法では、一つの列に N 個の数字と呼ばれる記号で数を表現し、一つの列に N 個の数字を容れて、N に達したら数列を一つ増やす。数字を容れる一つの列を桁（けた）といい、桁の意味する数を位（くらい）という。このN個の中には、必ず零を意味する数字が含まれ、桁の基数 N は「10」というように「整数第二位が"一"で整数第一位が"零"」として表記される。この「N進」と呼ばれる数列は、「Nの倍数」(Nの倍加)ではなく、「Nの冪数」(Nの冪乗)で進む。即ち、ここでの「進」とは「桁」を進めることである。

より派生して、Nの2乗は「100」、Nの3乗は「1000」、Nで1回分割は「0.1」、Nで2回分割は「0.01」、Nで3回分割は「0.001」として表記される。このように、整数第一位（N⁰）を「一の位」、整数第二位（N¹）を「Nの位」、整数第三位（N²）を「N²の位」、整数第四位（N³）を「N³の位」、小数第一位（N^-1、1÷N¹）を「N分の一の位」、小数第二位（N^-2、1÷N²）を「N²分の一の位」、小数第三位（N^-3、1÷N³）を「N³分の一の位」として数を表現する。

以下に、零（つまり無の数）も加えた一進法（桁上がりが無い）と位取り記数法の差異を、図形記号を用いて示す。◎を零、●を一として、●は六つごとに区切る。ここでは、単偶数進法である六進法と十進法を例に挙げる。アラビア数字を「ア数」と略記する。

一進法との対比
一進法	六進法	十進法	六進ア数	十進ア数
◎	◎	◎	0	0
●	●	●	1	1
●●	●●	●●	2	2
●●●	●●●	●●●	3	3
●●●●	●●●●	●●●●	4	4
●●●●●	●●●●●	●●●●●	5	5
●●●●●●	●｜◎	●●●●●●	10	6
●●●●●● ●	●｜●	●●●●●● ●	11	7
●●●●●● ●●	●｜●●	●●●●●● ●●	12	8
●●●●●● ●●●	●｜●●●	●●●●●● ●●●	13	9
●●●●●● ●●●●	●｜●●●●	●｜◎	14	10
●●●●●● ●●●●●	●｜●●●●●	●｜●	15	11
●●●●●● ●●●●●●	●●｜◎	●｜●●	20	12
●●●●●● ●●●●●● ●	●●｜●	●｜●●●	21	13
●●●●●● ●●●●●● ●●	●●｜●●	●｜●●●●	22	14
●●●●●● ●●●●●● ●●●●●●	●●●｜◎	●｜●●●●●● ●●	30	18
●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●	●●●｜●	●｜●●●●●● ●●●	31	19
●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●	●●●｜●●	●●｜◎	32	20
●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●	●●●｜●●●	●●｜●	33	21
●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●	●●●●｜●●●	●●｜●●●●●● ●	43	27
●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●●	●●●●●｜◎	●●●｜◎	50	30
●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●	●●●●●｜●●●●	●●●｜●●●●	54	34
●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●	●●●●●｜●●●●●	●●●｜●●●●●	55	35
●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●●	●｜◎｜◎	●●●｜●●●●●●	100	36
●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●	●｜◎｜●●●●	●●●●｜◎	104	40
●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●	●●｜●●●●｜●●●●	●｜◎｜◎	244	100

このように、六進法なら六（二の三倍）、十進法なら十（二の三倍に四を加える）というように、決められた数値になったら新しい列を出す方法が「位取り記数法」である。六進法なら六の束の更に六の束、つまり三十六の束で新しい列の出現が二回目（＝二乗）となっている。十進法なら十の束の更に十の束、つまり百の束で新しい列の出現が二回目（＝二乗）となるが、六進法では百を「三十六が二つ、六が四つ、一が四つ」として表記する。また、新しい列の出現を「桁上がり」と呼ぶこともある。

単位と数値観

単位系にN進の考え方を適用すると、必ずNの冪乗で単位が設定される。

数値観でも、N進法ではNの2乗が「満点」という数値観と、Nの冪数が「多数」という数値観が形成される。例えば、十進法では「百点満点」「百選」「千倍返し」、六進法では「三十六景」「三十六選」に対して、に対して、十二進法は「百四十四点満点」「百四十四選」「千七百二十八倍返し」、十六進法は「二百五十六点満点」「二百五十六選」「四千九十六倍返し」という数値観になる。

従って、素因数が同じでも、冪数が異なれば数値観も異なる。例えば、「10＝2²×3」の十二進法では百四十四が「100」で多数の代名詞になるのに対して；「10＝2×3」の六進法では三十六（100）や二百十六（1000）が多数の代名詞になり、百四十四は「400」と表記されて価値が2/3に下がる。

底を「10」として表さない例編集

アラビア数字やマヤ数字のように、桁の底と同じ数が「10」として表される方法が位取り記数法である。一方、ローマ数字やヒエログリフや図形記号のように、桁の底を「10」ではなく新しい記号として表す方法は「位取り」記数法ではない（en:Sign-value notation）が、便宜上この項で概説する。

例として、十二進法を図形記号を用いて説明する。ここでは便宜上、十進表記を下付きのA、十二進表記を下付きのCで示し、▲を12_A（= 10_C）、●を1、| を1/12_A（= 0.1_C）とする。

9/12_A（0.9_C）… ||| ||| |||
10/12_A（0.A_C）… ||| ||| ||| |
11/12_A（0.B_C）… ||| ||| ||| ||
1_A（1_C）… ●
2_A（2_C）… ●●
3_A（3_C）… ●●●
9_A（9_C） … ●●● ●●● ●●●
10_A（A_C）… ●●● ●●● ●●● ●
11_A（B_C） … ●●● ●●● ●●● ●●
12_A（10_C）… ▲
24_A（20_C）… ▲▲
36_A（30_C）… ▲▲▲
60_A（50_C）… ▲▲▲ ▲▲
90_A（76_C）… ▲▲▲ ▲▲▲ ▲　●●● ●●●
108_A（90_C）… ▲▲▲ ▲▲▲ ▲▲▲
120_A（A0_C）… ▲▲▲ ▲▲▲ ▲▲▲ ▲
132_A（B0_C）… ▲▲▲ ▲▲▲ ▲▲▲ ▲▲
142_A（BA_C）… ▲▲▲ ▲▲▲ ▲▲▲ ▲▲　●●● ●●● ●●● ●
143_A（BB_C）… ▲▲▲ ▲▲▲ ▲▲▲ ▲▲　●●● ●●● ●●● ●●
144_A（100_C）… ◆
145_A（101_C）… ◆　●
288_A（200_C）… ◆◆
432_A（300_C）… ◆◆◆
720_A（500_C）… ◆◆◆ ◆◆
780_A（550_C）… ◆◆◆ ◆◆　▲▲▲ ▲▲
1296_A（900_C）… ◆◆◆ ◆◆◆ ◆◆◆
1440_A（A00_C）… ◆◆◆ ◆◆◆ ◆◆◆ ◆
1584_A（B00_C）… ◆◆◆ ◆◆◆ ◆◆◆ ◆◆
1650_A（B56_C）… ◆◆◆ ◆◆◆ ◆◆◆ ◆◆　▲▲▲ ▲▲　●●● ●●●
1716_A（BB0_C）… ◆◆◆ ◆◆◆ ◆◆◆ ◆◆　▲▲▲ ▲▲▲ ▲▲▲ ▲▲
1727_A（BBB_C）… ◆◆◆ ◆◆◆ ◆◆◆ ◆◆　▲▲▲ ▲▲▲ ▲▲▲ ▲▲　●●● ●●● ●●● ●●
1728_A（1000_C）… ◎
1729_A（1001_C）… ◎　●
3456_A（2000_C）… ◎◎
5184_A（3000_C）… ◎◎◎
6400_A（3854_C）… ◎◎◎　◆◆◆ ◆◆◆ ◆◆　▲▲▲ ▲▲　●●● ●

ここで重要な点は、「どの数で新しい記号が現れるか」である。上記では、| を12_A個統めた物として●、●を12_A個統めた物として▲、▲を12_A個統めた物として◆、◆を12_A個統めた物として◎という記号が導入されている。純粋な十二進法は、24_Aや60_Aといった「▲の倍数を、桁や単位にすること」（＝12_Aの2倍、12_Aの5倍）でもなく、288_Aや432_Aといった「◆の倍数を、桁や単位にすること」（＝12_Aの12_A倍の2倍、12_Aの12_A倍の3倍）でもなく、144_Aや1728_Aといった「◆や◎などの新しい記号が現れる数を、桁や単位にすること」（＝12_Aの12_A倍、12_Aの12_A倍の12_A倍）なのである。｛※この意味で、ローマ数字は10_A倍だけではなく、5倍のタイミングでも新しい記号が現れるので、純粋な十進法ではない。｝「10」で表す位取り記数法に置き換えると、▲の倍数は「1の位が0」、◆の倍数は「1の位と10_Cの位が0」に対して、新しい記号が現れる数は「1に0が幾つも付く」形になる。

適用例編集

十進法編集

「漢数字#位取り記数法」も参照

数列

今日の日本において最も身近な十進法を例に説明する。十進法では、十個の数字と呼ばれる記号を用い、一桁に十個の数字を容れて、十倍毎に桁を増やす。数列は、十、二十、三十といった「十の倍数」ではなく、十、百、千といった「十の冪数」で進む。

アラビア数字なら

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9

の十個であり、漢数字なら

〇、一、二、三、四、五、六、七、八、九

の十個である^[1]。以下、アラビア数字を例に説明するが、漢数字の場合も同様である。

十進法ではこれらの数字を列べる事で数を表現する。例えば、253.48は、

2\times 10^{2}+5\times 10^{1}+3+4\times {\frac {1}{10^{1}}}+8\times {\frac {1}{10^{2}}}

を表す。

また十進法では、以下の性質が満たされる。

整数では、十倍する毎に一桁増え、十分割する毎に一桁減る。
一桁で表せる数は10-1=9までで、10以降は二桁以上を必要し、100以降は三桁以上を必要とする。
小数では、十分割する毎に一桁増え、十倍する毎に一桁減る。
単位は、20や30といった10の倍数ではなく、100や1000といった10の冪数で設定される。

例えば、十進法による計算に適するように設計されたメートル法の単位は、倍増の接頭辞として「ヘクト」や「キロ」、分割の接頭辞として「センチ」や「ミリ」などが使用されている。これらは、例えば 1 キロメートルは十の3乗（10³）である 1000 メートル、1 センチメートルは十で2回分割（10^-2）した 1/100 メートル、1 ミリメートルは十で3回分割（10^-3）した 1/1000 メートルであり、1080 メートルや 1/30 メートルといった「十の倍数」や「1 ÷ 十の倍数」でもなく、200 メートルや 1/3000 メートルといった「十の冪数のM倍」や「1 ÷ 十の冪数のM倍」でもない。

N 進法は、以上の十進法の説明を、その他の N の場合に敷衍する事で得られる。

Nが十未満編集

例えば四進法をアラビア数字で表した場合、使う数字は

0、1、2、3

の四種類の記号であり、四進法における312.02は、

3\times 4^{2}+1\times 4^{1}+2+0\times {\frac {1}{4^{1}}}+2\times {\frac {1}{4^{2}}}

を表し、これは十進法の54.125にあたる。

また四進法では、十進法に類似した以下の性質が満たされる。

整数では、四倍する毎に一桁増え、四分割する毎に一桁減る。
一桁で表せる数は4-1=3までで、4以降は二桁以上を必要とし、16以降は三桁以上を必要とする。
小数では、四分割する毎に一桁増え、四倍する毎に一桁減る。
単位は、8や12といった4の倍数ではなく、16や64といった4の冪数で設定される。

以上の話でも分かるように、同じ「312.02」でも四進法のものと十進法のものでは値が異なる。このため、位取り記数法の話をするときには、常に何進法の話であるのかを明示する必要がある。

Nが十を超過編集

十二進法、十六進法、二十進法のように、N が十より大きい場合は用いる数字は、アラビア数字だけでは足りなくなる。そこで、十以上の数を表記する「数字」として、ラテン文字のアルファベットの大文字を用いる事が多い。なお、漢数字を使う際には、アルファベット大文字に相当する十干を用いて、十一を「甲」、十二を「乙」、十三を「丙」…と表記することになる。

例えば十六進法であれば、「数字」として

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F

を用い、A、B、C、D、E、Fはそれぞれ十進法の自然数10、11、12、13、14、15を表す。

従って例えば2F3.A7は

2\times 16^{2}+15\times 16^{1}+3+10\times {\frac {1}{16^{1}}}+7\times {\frac {1}{16^{2}}}

を表し、これは十進法の755.652344にあたる。

また、十六進法では、以下の性質が満たされる。

整数では、十六倍する毎に一桁増え、十六分割する毎に一桁減る。
一桁で表せる数は十進表記の16-1 = 15（F）までで、16以降は二桁以上を必要し、256以降は三桁以上を必要とする。
小数では、十六分割する毎に一桁増え、十六倍する毎に一桁減る。
単位は、32や48といった16の倍数ではなく、256や4096といった16の冪数で設定される。実例なし

基数の明記編集

同じ「312.02」でも、四進法と十進法では値が異なる。そこで四進法であることを明記するため、Nが十未満である場合には、一桁の下付き数字を付けて

312.02₄

或いは数字本体か下付きのどちらかを括弧で

(312.02)₄

312.02₍₄₎

と表記する事もある。

なお、Nが十以上である場合には、十以上の数字にアルファベット大文字を充てている事から、アルファベット大文字を用いた

(864)_A = (600)_C = (360)_G = (234)_K

864_(A) = 600_(C) = 360_(G) = 234_(K)

とも表記できる。また、

(864)₁₀ = (600)₁₂ = (360)₁₆ = (234)₂₀

864₍₁₀₎ = 600₍₁₂₎ = 360₍₁₆₎ = 234₍₂₀₎

というように十を「A」ではなく「10」、十二を「C」ではなく「12」というように十進表記の複数桁で表記する方も一般的である。

また、括弧書きではなく「N進法」という語を付ける場合には、前付きでも後付きのどれでも通じる。例えば、「十二進法の600」は、"duodecimal 600" や "dozenal 600"の前付きでも、"600 duodecimal" や "600 dozenal"の後付きの両方とも可能である。この場合、"duodecimal six zero zero"や"six zero zero dozenal"というように数字を棒読みする。

コンピューターで特に重要性の高い二進数、八進数、十進数、十六進数には、固有の表記もある。ただし、コンピューター言語により表記方法が若干異なる場合もある。

0b101 ： (101)₂の意味
0o306 ： (306)₈の意味
0d248 ： (248)₁₀の意味
0xF4C ： (F4C)₁₆の意味

各進法への置換例編集

以下の表に、代表的なN進法の位数と換算値を掲載する。底の特徴として、二と十六は「二の冪数」、三は「奇数」、六と十は「奇数の二倍」、十二と二十は「奇数の四倍」が挙げられる。

各進法の位数
進法	二進法	三進法	六進法	十進法	十二進法	十六進法	二十進法
整数第四位	(16)₁₀の位	(81)₁₀の位	(1296)₁₀の位	(10000)₁₀の位	(20736)₁₀の位	(65536)₁₀の位	(16万)₁₀の位
整数第四位	(8)₁₀の位	(27)₁₀の位	(216)₁₀の位	(1000)₁₀の位	(1728)₁₀の位	(4096)₁₀の位	(8000)₁₀の位
整数第三位	(4)₁₀の位	(9)₁₀の位	(36)₁₀の位	(100)₁₀の位	(144)₁₀の位	(256)₁₀の位	(400)₁₀の位
整数第二位	(2)₁₀の位	(3)₁₀の位	(6)₁₀の位	(10)₁₀の位	(12)₁₀の位	(16)₁₀の位	(20)₁₀の位
整数第一位	1の位	1の位	1の位	1の位	1の位	1の位	1の位
小数第一位	(1/2)₁₀の位	(1/3)₁₀の位	(1/6)₁₀の位	(1/10)₁₀の位	(1/12)₁₀の位	(1/16)₁₀の位	(1/20)₁₀の位
小数第二位	(1/4)₁₀の位	(1/9)₁₀1の位	(1/36)₁₀の位	(1/100)₁₀の位	(1/144)₁₀の位	(1/256)₁₀の位	(1/400)₁₀の位
小数第三位	(1/8)₁₀の位	(1/27)₁₀の位	(1/216)₁₀の位	(1/1000)₁₀の位	(1/1728)₁₀の位	(1/4096)₁₀の位	(1/8000)₁₀の位

各進法での表記
二進表記	三進表記	六進表記	十進表記	十二進表記	十六進表記	二十進表記
1	1	1	1	1	1	1
10	2	2	2	2	2	2
11	10	3	3	3	3	3
100	11	4	4	4	4	4
101	12	5	5	5	5	5
110	20	10	6	6	6	6
111	21	11	7	7	7	7
1000	22	12	8	8	8	8
1001	100	13	9	9	9	9
1010	101	14	10	A	A	A
1011	102	15	11	B	B	B
1100	110	20	12	10	C	C
1101	111	21	13	11	D	D
1110	112	22	14	12	E	E
1111	120	23	15	13	F	F
10000	121	24	16	14	10	G
10001	122	25	17	15	11	H
10010	200	30	18	16	12	I
10011	201	31	19	17	13	J
10100	202	32	20	18	14	10
11110	1010	50	30	26	1E	1A
100100	1100	100	36	30	24	1G
111100	2020	140	60	50	3C	30
1011010	10100	230	90	76	5A	4A
1100100	10201	244	100	84	64	50
10000100	11220	340	132	B0	84	6C
10010000	12100	400	144	100	90	74
11011000	22000	1000	216	160	D8	AG
100000000	100111	1104	256	194	100	CG
101101000	111100	1400	360	260	168	I0
110010000	112211	1504	400	294	190	100
1111101000	1101001	4344	1000	6B4	3E8	2A0
11011000000	2101000	12000	1728	1000	6C0	468
1111101000000	101222022	101012	8000	4768	1F40	1000
10000111000000	102212000	104000	8640	5000	21C0	11C0

各進法での負の整数
二進表記	三進表記	六進表記	十進表記	十二進表記
−110	−20	−10	−6	−6
−101	−12	−5	−5	−5
−100	−11	−4	−4	−4
−11	−10	−3	−3	−3
−10	−2	−2	−2	−2
−1	−1	−1	−1	−1
0	0	0	0	0

可分性編集

en:Divisibility ruleといえば通常は整数の範囲で割り切れるかどうかを問う整除の問題であるが、以下では有限小数として割り切れるかどうかについて述べる。

数値、特に 1÷N の可分性は、N の約数にどれが含まれているかで決まるが、より明確には N を素因数分解した時にどの素数が含まれているかで決まる。従って、単に約数が多いというだけではなく、約数が素因数分解した時にどんな数になるかも見なければならない。

不可分の例として、「八進法は 1/3 も 1/5 も割り切れない」「九進法は 1/2 も 1/4 も割り切れない」「十進法は 1/3 が割り切れない」「十二進法は 1/5 が割り切れない」「十五進法は 1/2 も 1/4 も割り切れない」「十六進法は 1/3 も 1/5 も割り切れない」が挙げられる。これらの要因は、八や十六は奇数（3や5など）が約数に含まれていないから；九や十五は偶数（2や4など）が約数に含まれていないから、十には3が約数に含まれていないから、十二には5が約数に含まれていないからである。各数を素因数分解すると、八は2³、十六は2⁴、九は3²、十五は3×5、十は2×5、十二は2²×3となる。

具体的に見ると、四進法、八進法、十六進法は、Nの約数が2の冪数しか無いため、「2でしか割り切れない」。これらは「1/奇数」に変換できる小数が無く、1÷3 や 1÷5 といった奇数分割は不可能で、偶数でも 1÷6｛六分割。1÷(2×3)｝や 1÷A｛十分割。1÷(2×5)｝や 1÷C｛十二分割。1÷(2²×3)｝や 1÷K｛二十分割。1÷(2²×5)｝といった「1 ÷ (2^p×奇数)」は割り切れない。同じく、九進法は、Nの約数が3しか無いため、「3でしか割り切れない」。こちらは「1/偶数」に変換できる小数が無く、1÷2 や 1÷4 や 1÷6 といった偶数分割は不可能で、奇数でも因数が3だけでない限りは割り切れない。これら八進法や九進法や十六進法に共通する要素は、冪数進法で「素因数が一つだけ」である。

逆に、六進法は「2と3でしか割り切れない」、十進法は「2と5でしか割り切れない」と低く見られやすいが、可分性の基礎である素因数の数は、八進法や十六進法といった「二の冪数進法」を上回る。素因数分解すると、六は「2×3」、十は「2×5」と素因数を二つ持っているのに対して、八は「2³」、十六は「2⁴」で素因数が「2」だけしか無い。十六の約数である2, 4, 8は、全て2の冪数に過ぎない。小数を既約分数に変換すると、六進法はm/3、十進法はm/5の小数が現れるのに対して、八進法など「二の冪数進法」は「m/奇数」となる小数が現れないし、九進法は「三の冪数進法」なので「m/偶数」となる小数が現れない。

Nの平方数も、三十六である(100)₆は4（＝2²）でも3でも9（＝3²）でも二十七（＝3³）でも割り切れる（※二十七分割は (100÷43 = 1.2)₆ で有限小数となる）し、百である(100)₁₀は4（＝2²）でも5でも二十五（＝5²）でも割り切れるのに対して、六十四である(100)₈と二百五十六である(100)₁₆は2の冪数でしか割り切れない。

従って、六進法、十進法、十二進法、二十進法などは、8がNの約数に含まれていないが、1÷8 は割り切れる。これは、8が2³であり、Nが偶数なので2が約数に含まれているからである。また、六進法や十二進法は、9がNの約数に含まれていないが、1÷9 は割り切れる。これは、9が3²であり、3がNの約数に含まれているからである。

このように、「約数の多さ」ではなく、「素因数の多さ」が可分性を広げるという事である。

小数の既約分数への変換（含仮分数）
小数	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	0.A
六進法	1/6	1/3	1/2	2/3	5/6	1	7/6	4/3	3/2	5/3
八進法	1/8	2/4	3/8	1/2	5/8	3/4	7/8	1	9/8	5/4
九進法	1/9	2/9	1/3	4/9	5/9	2/3	7/9	8/9	1	A/9
十進法	1/A	1/5	3/A	2/5	1/2	3/5	7/A	4/5	9/A	1

各進法の小数と除算
除数	除数の素因数分解	六進法	八進法	九進法	十進法	十二進法	十五進法	十六進法	二十進法
1 ÷ 2	素数	0.3	0.4	0.4444…	0.5	0.6	0.7777…	0.8	0.A
1 ÷ 3	素数	0.2	0.2525…	0.3	0.3333…	0.4	0.5	0.5555…	0.6D6D…
1 ÷ 4	2²	0.13	0.2	0.2222…	0.25	0.3	0.3B3B…	0.4	0.5
1 ÷ 5	素数	0.1111…	0.1463…	0.1717…	0.2	0.2497…	0.3	0.3333…	0.4
1 ÷ 6	2×3	0.1 （1÷10₆）	0.12525…	0.1444…	0.1666…	0.2	0.2777…	0.2AAA…	0.36D6D…
1 ÷ 7	素数	0.0505… （1÷11₆）	0.1111…	0.125…	0.142857…	0.186A35…	0.2222…	0.249…	0.2H2H…
1 ÷ 8	2³	0.043 （1÷12₆）	0.1 （1÷10₈）	0.1111…	0.125	0.16	0.1D1D…	0.2	0.2A
1 ÷ 9	3²	0.04 （1÷13₆）	0.0707… （1÷11₈）	0.1 （1÷10₉）	0.1111…	0.14	0.1A	0.1C7…	0.248HFB…
1 ÷ A	2×5	0.0333… （1÷14₆）	0.06314… （1÷12₈）	0.0808… （1÷11₉）	0.1 （1÷10₁₀）	0.12497…	0.1777…	0.1999…	0.2

※ 割り切れない小数の循環節は下線で示す。

厳密な定義編集

以下話を簡単にする為、非負の有限小数の場合のみを扱うが、無限小数の場合も同様である。

なお以下、「数字」という言葉を通常よりかなり広範な意味に用いており、アラビア数字、漢数字、マヤ数字、英語のアルファベットなどを含めた任意の記号を指している事に注意されたい。

自然数 N を一つ固定する。( N をこの記数法の底（てい）または基数という)。

さらに N 個の記号 ${\mathfrak {c}}_{0},\ldots ,{\mathfrak {c}}_{N-1}$ を固定する。(例えばアラビア数字とアルファベットで十六進法を表す場合は、N =16 で、 ${\mathfrak {c}}_{0}=\mathbf {0} ,\ldots ,{\mathfrak {c}}_{9}=\mathbf {9} ,{\mathfrak {c}}_{10}=\mathbf {A} ,\ldots ,{\mathfrak {c}}_{15}=\mathbf {F}$ )。

さらに各 ${\mathfrak {c}}_{j}$ に対し、

\ell ({\mathfrak {c}}_{j})=j

と定義する。

このとき、記号 ${\mathfrak {c}}_{0},\ldots ,{\mathfrak {c}}_{N-1}$ を数字として用いた N 進法とは、自然数 n 、 m を用いた

a_{n}a_{n-1}\cdots a_{1}a_{0}.a_{-1}\cdots a_{-m},~~~~~a_{-m},\ldots ,a_{n}\in \{{\mathfrak {c}}_{0},\ldots ,{\mathfrak {c}}_{N-1}\}

という形に表記( N 進表記、もしくは N 進数表記)に非負の実数

\sum _{i=-m}^{n}\ell (a_{i})N^{i}

を対応させる表記体系の事である。

N 進表記された数という意味で「N 進数」という呼称を使用することもある。

N 進数表記の先頭に「+」もしくは「-」の符号をつけることで、数の正負を表現することもできる。

符号をつけた場合の N 進数表記の詳細な説明は省略する。

表記の一意性に関して編集

この節では特に断りがない限り十進数について述べるが、他の基数についても同様である。

実数の N 進表記は一意ではない。よく知られているように、

1=1.000…=0.999…

である。また、以下のように、上位桁に不要な0を付け加えることもできる

0013=13

通常は「0013」のような表記は許さないとする事が多いが、コンピューターなどでは、最大で4桁の整数値であることを示すため、あえて「0013」のような表記をする場合がある。

以上のような例をのぞくと0以外の実数は一意に表現できる。

しかし0のみは

「+0」、「-0」

の二通りの表記が可能である(いわゆる負のゼロの問題)。これが原因で、コンピューター・プログラムでは0のみ例外処理を求められる場合がある。

また、一般には0は1桁の数とされているが、ルールを優先し1桁の数と認めない場合もある(覆面算#ルール)。

表計算ソフトの列名などで用いられている、A, B, ..., Z, AA, AB, ... のような形式は、位取り記数法の一種と考えることができ、かつ0より大きい整数を一意に表せる。(en:Bijective numeration)

底の変換アルゴリズム編集

与えられた非負整数 T を、記号 ${\mathfrak {c}}_{0},\ldots ,{\mathfrak {c}}_{N-1}$ を数字として用いた N 進表記

a_{r}\cdots a_{0}

で表すには、以下のアルゴリズムを用いればよい。

なお、このアルゴリズムは、 M ≠ NによりM 進表記されている T を N 進表記に書き換えるときに使われる事が多いので、このアルゴリズムを底の変換アルゴリズムと呼ぶ。

入力T を受け取る。
T=0 なら ${\mathfrak {c}}_{0}$ を出力して停止。
iを0に初期化
while(T≠0){
- T を N で割った商を T' 、余りを k とし、 $a_{i}\gets {\mathfrak {c}}_{k}$ とする。
- T ←T'、i←i+1
}
r←i-1
$a_{r}\cdots a_{0}$ を出力

なお、T >0に対しては等式

r=\left\lfloor \log _{N}T\right\rfloor

が知られている(なお、添え字を0から始めているので、T の桁数はr +1) 。ここで $\left\lfloor x\right\rfloor$ は床関数である。

底の変換例編集

十進法→五進法への変換

十進法の 5213 を五進法に置き換える場合：

5213 ÷ 5 = 1042 余り 3
1042 ÷ 5 = 208 余り 2
208 ÷ 5 = 41 余り 3
41 ÷ 5 = 8 余り 1
8 ÷ 5 = 1 余り 3
1 ÷ 5 = 0 余り 1

から、5213 = 3 + 2 × 5 + 3 × 5² + 1 × 5³ + 3 × 5⁴ + 1 × 5⁵ となるので、五進表記では 131323 と表すことができる。また、5⁵ = 3125, 5⁶ = 15625 であるから、5⁵ ≤ 5213 < 5⁶ が成り立っているので、対数を取ると

5\leq \log _{5}5213<6

となり、

r=\left\lfloor \log _{5}5213\right\rfloor =5

が分かる。

同値の整数への変換

二百七十の表記は、以下の通りになる。（便宜上、計算式を十進法で表記する）

二進法 (100001110)₂ : 270 = 256 + 14 = 2⁸ + 2³ + 2² + 2¹
六進法 (1130)₆ : 270 = 216 + 54 = 1×6³ + 1×6² + 3×6¹
八進法 (416)₈ : 270 = 256 + 14 = 4×8² + 1×8¹ + 6
九進法 (330)₉ : 270 = 243 + 27 = 3×9² + 3×9¹
十進法 (270)₁₀ : 270 = 200 + 70 = 2×10² + 7×10¹
十二進法 (1A6)₁₂ : 270 = 144 + 126 = 1×12² + 10×12¹ + 6
十六進法 (10E)₁₆ : 270 = 256 + 14 = 1×16¹ + 0×16¹ + 14
十八進法 (F0)₁₈ : 270 = 270 + 0 = 15×18¹
二十進法 (DA)₂₀ : 270 = 260 + 10 = 13×20¹ + 10

意味する数

整数「234」の意味する数は、以下の通りになる。（便宜上、計算式を十進法で表記する）

六進法 (234)₆ : (94)₁₀ = 72 + 18 + 4 = 2×6² + 3×6¹ + 4
八進法 (234)₈ : (156)₁₀ = 128 + 24 + 4 = 2×8² + 3×8¹ + 4
九進法 (234)₉ : (193)₁₀ = 162 + 27 + 4 = 2×9² + 3×9¹ + 4
十進法 (234)₁₀ : (234)₁₀ = 200 + 30 + 4 = 2×10² + 3×10¹ + 4
十二進法 (234)₁₂ : (328)₁₀ = 288 + 36 + 4 = 2×12² + 3×12¹ + 4
十六進法 (234)₁₂ : (564)₁₀ = 512 + 48 + 4 = 2×16² + 3×16¹ + 4
十八進法 (234)₁₈ : (706)₁₀ = 648 + 54 + 4 = 2×18² + 3×18¹ + 4
二十進法 (234)₂₀ : (864)₁₀ = 800 + 60 + 4 = 2×20² + 3×20¹ + 4

整数「50」の意味する数は、以下の通りになる。（便宜上、計算式を十進法で表記する）

六進法 (50)₆ : (30)₁₀ = 5×6
八進法 (50)₈ : (40)₁₀ = 5×8
九進法 (50)₉ : (45)₁₀ = 5×9
十進法 (50)₁₀ : (50)₁₀ = 5×10
十二進法 (50)₁₂ : (60)₁₀ = 5×12
十六進法 (50)₁₆ : (80)₁₀ = 5×16
十八進法 (50)₁₈ : (90)₁₀ = 5×18
二十進法 (50)₂₀ : (100)₁₀ = 5×20

整数「500」の意味する数は、以下の通りになる。（便宜上、計算式を十進法で表記する）

六進法 (500)₆ : (180)₁₀ = 5×36 = 5×6²
八進法 (500)₈ : (320)₁₀ = 5×64 = 5×8²
九進法 (500)₉ : (405)₁₀ = 5×81 = 5×9²
十進法 (500)₁₀ : (500)₁₀ = 5×100 = 5×10²
十二進法 (500)₁₂ : (720)₁₀ = 5×144 = 5×12²
十六進法 (500)₁₆ : (1280)₁₀ = 5×256 = 5×16²
十八進法 (500)₁₈ : (1620)₁₀ = 5×324 = 5×18²
二十進法 (500)₂₀ : (2000)₁₀ = 5×400 = 5×20²

小数「0.5」の意味する数は、以下の通りになる。（便宜上、計算式を十進法で表記する）

六進法 (0.5)₆ : (5/6)₁₀ = 十進法で 0.8333…
八進法 (0.5)₈ : (5/8)₁₀ = 十進法で 0.625
九進法 (0.5)₉ : (5/9)₁₀ = 十進法で 0.5555…
十進法 (0.5)₁₀ : (5/10)₁₀ = 1/2
十二進法 (0.5)₁₂ : (5/12)₁₀ = 十進法で 0.41666…
十六進法 (0.5)₁₆ : (5/16)₁₀ = 十進法で 0.3125
十八進法 (0.5)₁₈ : (5/18)₁₀ = 十進法で 0.2777…
二十進法 (0.5)₂₀ : (5/20)₁₀ = 1/4 = 十進法で 0.25

小数「0.4」の意味する数は、以下の通りになる。（便宜上、計算式を十進法で表記する）

六進法 (0.4)₆ : (4/6)₁₀ = 2/3 = 十六進法で 0.AAAA…
八進法 (0.4)₈ : (4/8)₁₀ = 1/2 = 十六進法で 0.8
九進法 (0.4)₉ : (4/9)₁₀ = 4/9 = 十六進法で 0.71C…
十進法 (0.4)₁₀ : (4/10)₁₀ = 2/5 = 十六進法で 0.6666…
十二進法 (0.4)₁₂ : (4/12)₁₀ = 1/3 = 十六進法で 0.5555…
十六進法 (0.4)₁₆ : (4/16)₁₀ = 1/4
十八進法 (0.4)₁₈ : (4/18)₁₀ = 2/9 = 十六進法で 0.38E…
二十進法 (0.4)₂₀ : (4/20)₁₀ = 1/5 = 十六進法で 0.3333…

このように、「5」だけが切りの好い数というのは、十進法だけの世界に過ぎない。また、4、8、十進法64＝六進法144、十進法256＝六進法1104といった「2の冪数」だけが切りの好い数というのは、八進法や十六進法など「2の冪数進法」だけの世界に過ぎない。

四則計算を含めた変換

上記の通り、十二進法の 500 は七百二十であり、十進法では 720 と表記される。従って、十二進法の"500 ÷ 14 = 39"は、以下のように変換される。

十二進法 : (500)₁₂ ÷ (14)₁₂ = (39)₁₂
六進法に換算 : (3200)₆ ÷ (24)₆ = (113)₆
十進法に換算 : (720)₁₀ ÷ (16)₁₀ = (45)₁₀
十六進法に換算 : (2D0)₁₆ ÷ (10)₁₆ = (2D)₁₆
十八進法に換算 : (240)₁₈ ÷ (G)₁₈ = (29)₁₈
二十進法に換算 : (1G0)₂₀ ÷ (G)₂₀ = (25)₂₀

“1034 ÷ 11”の商も、以下のようになる。

六進法 (1034)₆ ÷ (11)₆ = {1×6³ + 0×6² + 3×6¹ + 4} ÷ {1×6 + 1} = (54)₆
- 十進法に換算：238 ÷ 7 = 34
十進法 (1034)₁₀ ÷ (11)₁₀ = {1×10³ + 0×10² + 3×10¹ + 4} ÷ {1×10 + 1} = (94)₁₀
十二進法 (1034)₁₂ ÷ (11)₁₂ = {1×12³ + 0×12² +3×12¹ + 4} ÷ {1×12 + 1} = (B4)₁₂
- 十進法に換算：1768 ÷ 13 = 136
二十進法 (1034)₂₀ ÷ (11)₂₀ = {1×20³ + 0×20² + 3×20¹ + 4} ÷ {1×20 + 1} = (J4)₂₀
- 十進法に換算：8064 ÷ 21 = 384

同値の小数への変換

十進法の小数 0.625 は、六進法では 0.343 となり、十二進法では 0.76 となり、二十進法では 0.CA となる。いずれも分数に換算すると十進法の 5/8 となる小数であるが、計算式は以下の通りになる。

六進法 (0.343)₆ = (343/1000)₆ = 3×6^-1 + 4×6^-2 + 3×6^-3 = (135/216)₁₀ = (5/8)₁₀
十進法 (0.625)₁₀ = (625/1000)₁₀ = 6×10^-1 + 2×10^-2 + 5×10^-3 = (625/1000)₁₀ =(5/8)₁₀
十二進法 (0.76)₁₂ = (76/100)₁₂ = 7×12^-1 + 6×12^-2 = (90/144)₁₀ = (5/8)₁₀
二十進法 (0.CA)₂₀ = (CA/100)₂₀ = 12×20^-1 + 10×20^-2 = (250/400)₁₀ = (5/8)₁₀

六進法の小数 0.144 は、十二進法では 0.368 となる。分数に換算すると十進法の 8/27（= 2³/3³）となる小数であるが、こちらの計算式は以下の通りになる。

六進法 (0.144)₆ = (144/1000)₆ = 1×6^-1 + 4×6^-2 + 4×6^-3 = (64/216)₁₀ = (8/27)₁₀
十二進法 (0.368)₁₂ = (368/1000)₁₂ = 3×12^-1 + 6×12^-2 + 8×12^-3 = (512/1728)₁₀ = (8/27)₁₀

十進法の小数 0.36 は、二十進法では 0.74 となる。分数に換算すると十進法の 9/25（= 3²/5²）となる小数であるが、こちらの計算式は以下の通りになる。

十進法 (0.36)₁₀ = (36/100)₁₀ = 3×10^-1 + 6×10^-2 = (36/100)₁₀ = (9/25)₁₀
二十進法 (0.74)₂₀ = (74/100)₂₀ = 7×20^-1 + 4×20^-2 = (144/400)₁₀ = (9/25)₁₀

複数の基数の混在編集

「:en:Mixed radix」も参照

十進法では、機械的に十倍、百倍、千倍、一万倍…の順で増える。同じく、十二進法では、機械的に十二倍、百四十四倍、千七百二十八倍、二万七百三十六倍…の順で増える。

しかし、底を2つに分ける場合がある。十進法に対して、二・五進法（十が五進命数法で「二五」なので、区別するため二と五の間に点が必要）では二と五の2つの底があるので、桁が上がる度に五倍→二倍→五倍→二倍…と交互になり、「十の冪数」と「十の冪数の五倍」が交互に現れる。これはそろばんと同じく一桁が「一の位」4つと「五の位」1つで構成される方法だが、計算機にも応用されている。

バビロニアの六十進法もそろばんに似た方法で、一桁が「一の位」9つと「十の位」5つで構成されており、整数は十倍→六倍→十倍→六倍と交互になり、小数は六分の一→十分の一→六分の一→十分の一と交互になる。この方法では、整数第二位は「六十の位」と「六百の位」に分かれ、整数第三位は「三千六百の位」と「三万六千の位」に分かれ、小数第一位は「六分の一の位」と「六十分の一の位」に分かれ、小数第二位は「三百六十分の一の位」と「三千六百分の一の位」に分かれている。

日常生活で用いている数には、このように複数の基数が混在するものが存在する。例えば、時間の単位は、三百六十を全体値として、三十(＝五六)と十二(＝二六)の積になるように設定されている。これは、十進表記で1世代は30年＞1年は12ヶ月＞1ヶ月は30日＞1日を12分割（十二時辰、十二宮、十二支など）、六進表記で1世代は50年＞1年は20ヶ月＞1ヶ月は50日＞1日を20分割、という循環である。これは、二・五進法と同様に名付けるとすれば「二六・五六の単位系」または「十二・三十の単位系」であり、十二進法（二六進法）でも三十進法（五六進法）でもない。

時間が「十二進法」ならば、一日は二十四時間（＝四六。十二(すなわち二六)の二倍）ではなく百四十四時間（十二の二乗）であらねばならない。時計以外の時間も「十二進法」ならば、全ての単位が 1年＝12ヶ月＝144日＝1728(時針の1回転の単位)＝20736時間というように機械的に十二の冪乗で変わるように設定されねばならない。同じく、「三十進法」ならば、単位も記数法も三十倍ずつ変わり、九百（三十の二乗）や二万七千（三十の三乗）といった三十の冪乗を意味する単位が存在せねばならないが、これらがどれも存在していない。同じく、「二十四進法」ならば五百七十六といった二十四の冪乗が存在せねばらないが、これも存在していない。「N進」すなわち冪乗が存在しているのは、「六十→三千六百」の単位が存在する六十進法だけである。このように、冪乗でない場合には、「十二進法」「二十四進法」「三十進法」といった「N進法」(base N) ではなく、「十二個単位」「二十四個単位」「三十個単位」というように「N個単位」(unit of N) という言い方が正確である。

この「十二(＝二六)と三十(＝五六)の単位系」の同系として、マヤ文明では「十八(＝三六)と二十(＝三六二)の単位系」が使用されたが、両方とも積は同じで三百六十である。このような複数の構成になる要因として、時間はともかく暦法は自然現象を観察し予測するという目的を持っているので、「1年＝365.24219日 (十進表記)」｛その他では「1年＝1405.124152日 (六進表記)」「1年＝265.2AA6日 (十二進表記)」「1年＝I5.4GHA日 (二十進表記)」｝という定数は変えられず、よって純然たる冪乗を構成できないためである。このため、三百六十の倍数は、十二進表記だと「260→500→760→A00」、六進表記だと「1400→3200→5000→10400」となり、「十二進表記は2倍なのに5倍」「六進表記は3倍なのに5倍」となり、5倍していないのに5倍したかのような錯覚が生じる。「11時」など内部で使われている十進表記は、単なるサブシステムであり、外側の単位とは無関係である。

日本の通貨（硬貨と紙幣）には、昇順で一円→五円→十円→五十円→百円→五百円→千円→五千円→一万円があるので、通貨を一つの単位と見れば、これは前述の二・五進法である。この配列を見ると、一（10⁰）、十（10¹）、百（10²）、千（10³）、一万（10⁴）が十の冪数であり、五、五十、五百、五千が「十の冪数の五倍」である。

同様に、もし1円→3円→12円→36円→144円→432円→1728円→5184円→20736円（いずれも十進表記）というように通貨が配列されたら、これは「二・五進法」という言い方に倣えば、「四・三進法」となる。この配列では、1（12⁰）、12（12¹）、144（12²）、1728（12³）、20736（12⁴）が十二の冪数であり、3、36、432、5184が「十二の冪数の三倍」である。この記数法を十二進法にすると、「1円→3円→10円→30円→100円→300円→1000円→3000円→10000円」となる。

英語表記編集

「倍数接頭辞」も参照

「基数 N 」を英語で、base N という。特定のNに関しては倍数接頭辞を基に名称がついているが、名称の付け方は不規則である。通常、接尾辞が -ary である語は、ラテン語の -arius (～の、～に関する) に由来して、「N 個一組」「N を単位とする」「N 個から成る」を意味する語である。一方、接尾辞が -imal である語は、ラテン語の -imus に由来して、「第 N」「N 分の一」を意味する語である。

以下は「基数 N 」、もしくはより明解に「N 個一組」「N を単位とする」「N 個から成る」という意味の形容詞である。

二：binary
三：ternary
四：quaternary
五：quinary
六：senary
七：septenary
八：octonary, octal
九：novenary
十：denary, decimal
十二：duodenary, duodecimal
十五：quindenary, quindecimal, pentadecimal
十六：sedenary, sedecimal, hexadecimal
十八：octodenary, octodecimal
二十：vicenary, vigesimal
三十：tricenary, trigesimal
六十：sexagenary, sexagesimal

これらを使い、a base-two numberで「二進数」、the base-two numeral systemで「二進法」を表す名詞となる。同様にa binary number、the binary numeral systemでもそれぞれ「二進数」、「二進法」を表す名詞となる。他の基数も同様。

p進数編集

詳細は「p進数」を参照

N 進表記と関連が深い概念として、素数 p 毎に定まる p 進数というものもある。名称は本稿で解説しているN 進表記の別名であるN 進数と同一であるものの、別概念ではある。ただし両者は非常に関連があり、整数の p進表記を（可算）無限桁の自然数の範囲に拡張したものが p進整数で、さらにそこに有限桁の小数部分を許したものが p進数である。ただし「無限桁の整数」（の一部は有理数として再解釈できるもののほとんど）は本稿で扱う普通の数（実数）とは異なる。

脚注・参照編集

^ 専門な注であるが、以下、太字で書かれた数字はシンタックスの体系内の記号であり、太字ではない数字はセマンティクスを記述するメタな記号である。

参考文献編集

ヘンリー・S・ウォーレン・ジュニア『ハッカーのたのしみ（英語版）』 ISBN 4434046683