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加群の圏

（体上のベクトル空間の圏から転送）

数学の一分野である圏論において加群の圏（かぐんのけん、英: category of modules）Mod は、すべての加群を対象としすべての加群準同型を射とする圏である。

定義 編集

より精確に、R を適当な（可換とは限らない）環とするとき、R-左加群の圏 R-Mod（または RMod）は、すべての R-左加群を対象とし、すべての R-線型写像（R-左加群の準同型）を射とする圏を言う。R-右加群の圏 Mod-R (ModR) や (R, S)-両側加群の圏 R-Mod-S (RModS) も同様に定義される。R が可換環ならば、R-Mod は自然に Mod-R および R-Mod-R と等しく、単に R-加群の圏と呼ぶ。

注意
文献によっては加群の圏のことを「加群圏」(module category) と呼ぶこともあるが、加群圏（英語版）は「加群構造を持った圏」すなわちモノイド圏作用（英語版）を持つ圏を意味する語として用いられる[1]ため紛らわしい。

性質 編集

例 編集

アーベル群の圏
係数環 R として有理整数環 Z をとったとき、Z-加群の圏 Z-Mod はアーベル群の圏 Ab に他ならない。
ベクトル空間の圏
係数環 R が可換体 K であるときには（K-加群とは K-ベクトル空間のことに他ならないから）、K-加群の圏 K-Mod はふつう K-Vect や KVect と書かれる。すなわち、K-Vect はすべての K-ベクトル空間を対象とし、すべての K-線型写像を射とする圏である。係数環が任意の斜体の場合も同様に、左ベクトル空間の圏、右ベクトル空間の圏、両側ベクトル空間の圏などが得られる。
線型代数学は K-ベクトル空間の圏 K-Vect の研究としてとらえることができる。例えば、ベクトル空間の次元定理（英語版）（基底数一定定理）は K-Vect の同型類の全体が濃度（基数）とちょうど対応することを述べるものであり、かつ K-Vect が任意の基数 n に対する自由ベクトル空間 Kn すべてを対象とする K-Vect の充満部分圏に圏同値となることを言うものでもある。

一般化 編集

環付き空間上の加群の層の圏も十分射影的かつ入射的である。

関連項目 編集

注 編集

注釈 編集

  1. ^ 任意の加群は自由加群の商（準同型像）であるから明らか。

出典 編集

  1. ^ “module category in nLab”, ncatlab.org, http://ncatlab.org/nlab/show/module+category 
  2. ^ Dummit–Foote, Ch. 10, Theorem 38.
  3. ^ Bourbaki, § 6.

参考文献 編集

  • Bourbaki, Algèbre; "Algèbre linéaire."
  • Dummit, David; Foote, Richard. Abstract Algebra.
  • Mac Lane, Saunders (September 1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. 5 (second ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001 

外部リンク 編集

 

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