余代数(よだいすう、英語: coalgebra)とは、単位元を持つ結合代数に対して、圏の双対をとったものをいう。

定義編集

    上のベクトル空間とする。2つの線型写像    が存在して、これらが

  1.  (余結合律)、
  2.  (余単位律)

を満たすとき、即ち図式

 

が可換であるとき、組   を余代数という。また、  を余積、  を余単位という。

諸概念編集

余代数射編集

   -余代数とする。 -線型写像  

 
 

を満たすとき  余代数射(coalgebra morphism)という。これは以下の図式が可換であることと同値:

 

部分余代数編集

  を余代数、  とする。 部分余代数であるとは、  を満たすことをいう。このとき、   は余代数の構造を持つ。

余イデアル編集

  を余代数  部分ベクトル空間とする。 余イデアル(coideal)であるとは

 
 

を満たすことをいう。このとき商   は余代数の構造を持つ。

余可換余代数と逆余代数編集

写像    で定める。余代数  余可換であるとは、   が成り立つことをいう。ここで新しい余積を   によって定めると、  は余代数になりこれを逆余代数という。余代数が余可換であることと   となることは同値である。

SweedlerのΣ-記法編集

  を余代数とする。  とすると、余積は

 

と書ける。SweedlerのΣ-記法ではこれを

 

と表す。このとき、総和の記号は省かれる場合がある。この記法を用いると、余結合律と余単位律は以下のようになる:

 (余結合律)
 (余単位律)

編集

  •   を空でない任意の集合、   の元を基底とした  -ベクトル空間とする。任意の   に対して余積と余単位を
 
で定めると、  -余代数の構造を持つ。
  •   -ベクトル空間、  をその基底とする。任意の   に対して余積と余単位を
 
で定めると、  -余代数の構造を持ち、これを devided power coalgebra という。
  •    次元  -ベクトル空間、  をその基底とする。余積と余単位を
 
によって定めると   は余代数となっていて、これを matrix coalgebra という。
  •   を局所有限半順序集合とする。  として    の元全体を基底として持つ  -ベクトル空間とする。任意の   に対して余積と余単位を
 
で定めると   は余代数となる。
  •   -ベクトル空間とし、その基底を   とする。余積と余単位を
 
で定めると   は余代数となり、これを trigonometric coalgebra という。

K-代数とK-余代数の双対空間編集

  -余代数、  -代数、とする。ここで  の積を 、即ち任意の  に対して

 

で定める。  が余結合的であることから積   は結合的であることがわかる。この積によって   -代数となり、 双対代数あるいは畳み込み代数という。単位は

 

で与えられる。また  が余可換であることと、全ての可換な   に対して   が可換であることは同値である。

逆に代数が有限次元の場合、代数の双対として余代数が定義できる。  を有限  -次元代数とすると、準同型写像

 

が存在して   となる。積と単位の双対

 

によって余積と余単位がそれぞれ定義され、余代数の構造が得られる。一般に   が無限次元の場合には、このようにして余代数の構造を持つことはない。

参考文献編集

  • Tomasz Brzezinski; Robert Wisbauer (2003). Corings and Comodules. Cambridge University Press 
  • Moss E. Sweedler (1969). Hopf algebras. Mathematics Lecture Note Series. W. A. Benjamin 
  • Sorin Dăscălescu; Constantin Năstăsescu; Șerban Raianu (2001). Hopf Algebra: An Introduction. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. 235. Marcel-Dekker