単射的対象

入射的対象から転送)

数学,特に圏論において,単射的対象(たんしゃてきたいしょう,: injective object, あるいは移入的対象入射的対象)の概念は単射的加群の概念の一般化である.この概念はホモトピー論モデル圏の理論において重要である.双対概念は射影的対象である.

定義編集

 
QH 単射的とは,H における射 AB が与えられたとき,任意の AQBQ に拡張することをいう.

  を圏とし    の射のあるクラスとする.

  の対象 Q -単射的とは,  の任意の射 f: AQ と任意の射 h: AB に対して,ある射 g: BQ が存在して f (の始域)を拡張する,すなわち   となることをいう.

上の定義における射 ghf によって一意的に決定されることは要求されない.

局所的に小さい圏では,それはhom関手   -射を全射に送ることと同値である.

  の古典的な選択は単射全体のクラスであり,この場合,単射的対象という表現が使われる.

アーベル圏の場合編集

アーベル圏の場合が単射性の概念のもともとの枠組みであった(そして今でも最も重要なものである). アーベル圏のとき,  の対象 A が単射的であるとは,hom関手 HomC(–,A)完全であることをいう.

 

  における完全列であって A が単射的対象であるものとする.すると列は分裂しB が単射的であることと C が単射的であることは同値である[1]

充分単射的対象をもつ編集

  を圏とし,H  の射のあるクラスとする;圏  充分 H 単射的対象をもつ (have enough H injectives) とは,  のすべての対象 X に対して,X からある H-単射的対象へのある H 射が存在することをいう.

単射的包絡編集

  における HgH 本質的 (H-essential) であるとは,任意の射 f に対して,合成 fgH に属するのは fH に属するときに限ることをいう.H が単射全体のクラスであるとき,g本質的単射英語版と呼ばれる.

fH 本質的 H 射であって,始域が X, 余域が H 単射的な G であるとき,GXH 単射的包絡 (H-injective hull) と呼ばれる.するとこの H 単射的包絡は,標準的でない同型の違いを除いて一意的である.

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関連項目編集

脚注編集

  1. ^ 証明:列は分裂するから BAC の直和である.

参考文献編集

  • J. Rosicky, Injectivity and accessible categories
  • F. Cagliari and S. Montovani, T0-reflection and injective hulls of fibre spaces