函数的平方根

写像の平方根から転送)

数学において函数的平方根(かんすうてきへいほうこん、: functional square root)あるいは半反復(half iterate)とは、合成の演算に関する函数平方根のことである。言い換えると、ある函数 g の函数的平方根 f とは、すべての x に対して f(f(x)) = g(x) を満たすもののことを言う。

  • 例えば、f(x) = 2x2g(x) = 8x4 の函数的平方根である。
  • 同様に、チェビシェフ多項式 g(x) = Tn(x) の函数的平方根は f(x) = cos (√n arccos(x)) である。これは一般には多項式ではない。
  • また、f(x) = x/(√2+x(1−√2))g(x) = x/(2−x) の函数的平方根である。

fg の函数的平方根であることは、f = g[½] あるいは f = g½ と表記される。

  • ℝ 上での f(f(x)) = x の解(実数の対合)は、1815年にチャールズ・バベッジによって初めて研究された。この方程式はバベッジの函数方程式と呼ばれる[2]。特殊解はbc ≠ 1 に対して f(x) = (b − x)/(1 + cx) である。これは c = 0 あるいは |b| ≅ |c| ≫ 1 (f(x) = 1/x) を含む。バベッジは、任意の与えられた解 f に対して、任意の可逆函数 Ψ による函数的共役 もまた解であることを注記している。

任意の函数的 n-乗根(n= ½ だけでなく、連続、負、無限小の n も含む)をシステマティックに構成する手順は、シュレーダーの方程式の解に依る[3][4][5]

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正弦函数()の第一半周期における反復。半反復()、すなわち正弦函数の函数的平方根;さらにそれの函数的平方根、すなわち4分の1乗根(黒);第二反復から始まる、その四回反復();それらを包含するの三角形は、極限の 0 反復を表し、正弦函数を導く始点を提供するのこぎり歯函数。一般教育的なウェブサイト[6]より引用。
sin[2](x) = sin(sin(x)) [の曲線]
sin[1](x) = sin(x) = rin(rin(x)) [の曲線]
sin[½](x) = rin(x) = qin(qin(x)) [の曲線]
sin[¼](x) = qin(x) [橙の曲線より上にある黒の曲線]
sin[–1](x) = arcsin(x) [図示されていないが、緑の曲線より上にある。]

関連項目編集

参考文献編集

  1. ^ Kneser, H. (1950). “Reelle analytische Lösungen der Gleichung φ(φ(x)) = ex und verwandter Funktionalgleichungen”. Journal fur die reine und angewandte Mathematik 187: 56–67. http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002175851. 
  2. ^ Jeremy Gray and Karen Parshall (2007) Episodes in the History of Modern Algebra (1800–1950), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4343-7
  3. ^ Schröder, E. (1870). “Ueber iterirte Functionen”. Mathematische Annalen 3 (2): 296–322. doi:10.1007/BF01443992. 
  4. ^ Szekeres, G. (1958). “Regular iteration of real and complex functions”. Acta Mathematica 100 (3–4): 361–376. doi:10.1007/BF02559539. 
  5. ^ Curtright, T.; Zachos, C. (2011). “Approximate solutions of functional equations”. Journal of Physics A 44 (40): 405205. doi:10.1088/1751-8113/44/40/405205. 
  6. ^ Curtright, T.L. Evolution surfaces and Schröder functional methods.