切断冪関数

数学における冪指数 n の切断冪関数（せつだんべきかんすう、英: truncated power function）は

$x_{+}^{n}:={\begin{cases}x^{n}&\ (x>0),\\0&\ (x\leq 0)\end{cases}}$

で定義される。特に n = 1 のとき

$x_{+}:={\begin{cases}x&\ (x>0),\\0&\ (x\leq 0)\end{cases}}$

ゆえ、切断冪函数の冪指数 n は通常の冪として理解できる。

例

• 指数 0 の切断冪函数は単位ステップ関数:

  $x_{+}^{0}={\begin{cases}1&\ (x>0),\\0&\ (x\leq 0).\end{cases}}$

ランプ関数

• 指数 1 の切断冪函数はランプ関数:

  $x_{+}^{1}={\begin{cases}x&\ (x>0),\\0&\ (x\leq 0).\end{cases}}$

性質

• 切断冪関数はBスプラインに使われる。n乗の切断冪関数がn次Bスプラインで使われる。
• $\chi _{[a,b)}(x)=(b-x)_{+}^{0}-(a-x)_{+}^{0}$ 。ただし、$\chi$ は指示関数。
• 切断冪函数は細分可能である。

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Truncated Power Function". mathworld.wolfram.com (英語).