単偶数(たんぐうすう、: singly even number)とは、2 で割り切れる(偶数である)が、4 では割り切れない整数である。半偶数(はんぐうすう)ともいう。「奇数の二倍」である整数ともいえる。

単偶数に対して、4 で割り切れる整数は、複偶数 (doubly even number、ふくぐうすう) または全偶数という。

概説編集

単偶数は、 4n ± 2(n は整数)の形をしている。小さい順から十進表記で、6, 10, 14, 18, 22, 26, 30…と続く。

十進法では、−82, −38, 6, 10, 22, 54, 90, 138 などが単偶数で、−40, −16, 8, 12, 28, 64, 120 などが複偶数である。二進法では、下二桁が 00 になっていれば複偶数である。

位取りの底が複偶数であれば、一の位がどの数かで単偶数か複偶数かを判別できる。例えば、十二進法では 2, 6, A が、二十進法では 2, 6, A, E, I が一の位に来ていれば、その数は単偶数である。対して、十二進法では 0, 4, 8 が、二十進法では 0, 4, 8, C, G が一の位に来ていれば、その数は複偶数である。

複偶数にも類型があり、「奇数で割り切れない複偶数」と、「奇数で割り切れる複偶数」の二つに分かれる。小さい順から十進表記で、奇数で割り切れない複偶数は4, 8, 16, 32, 64…などの「2の累乗数」であり、奇数で割り切れる複偶数は12, 20, 24, 28, 36, 40, 44…などの「素因数分解すると"2p×奇数"で、pが2以上の数」となる。

数学的性質編集

底に依存しない性質編集

以下、n は正の整数(自然数)であるとする。

  • 単偶数は多冪数でない。また単偶数は2つの平方数の差で表すことはできない。しかし、2つの多冪数の差で表すことはできる[1]
  • 単偶数同士の和・差・積は4の倍数である[注 1]。例:14 + 6 = 20, 14 − 6 = 8, 14 × 6 = 84
  • 三角数のうち単偶数であるのは 8n − 5 番目と 8n − 4 番目の三角数のみである。
  • フィボナッチ数のうち単偶数であるのは 6n − 3 番目のフィボナッチ数のみである。
  • 完全数かつ単偶数であるのは 6 のみである。

単偶数進数での性質編集

  • 底が単偶数のN進法では、2-nは小数点以下 n 桁の有限小数になる。例えば、1/4(= 2-2)は小数点以下二桁、1/8(= 2-3)は小数点以下三桁の有限小数になる。
  • 「100÷4」の二桁整数abの冪数は、下二桁もabとなる。同じく、「100×3/4」の二桁整数cbの冪数は、下二桁が「100×3/4」と「100÷4」の二桁整数が交互に循環し、 cb→ab→cbの循環になる。
  • 「(100×3/4)+1」の二桁整数deの冪数は、下二桁が常にdeとなる。同じく、「(100÷4)-1」の二桁整数fgの冪数は、下二桁が「(100÷4)-1」と「(100×3/4)+1」の二桁整数が交互に循環し、 fg→de→fgの循環になる。
    • 例:十進法だと、76→5776→438976…、24576→13824→331776… の循環となる。
    • 例:六進法だと、443344→245344…、12144221230544… の循環となる。

底に依存する性質編集

  • 十進法では、全ての単偶数の下二桁は、
02, 06, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46, 50, 54, 58, 62, 66, 70, 74, 78, 82, 86, 90, 94, 98
2510 通り(= 52)のいずれかである。
  • 六進法では、全ての単偶数の下二桁は、
02, 10, 14, 22, 30, 34, 42, 50, 54
9 通り(= 136 通り = 32)のいずれかである。
02, 06, 0A, 0E, 10, 14, 18, 1C, 1G, 22, 26 … GA, GE, H0, H4, H8, HC, HG
8110 通り(= 4918 通り = 92 = 34)になる。
  • 十二進法二十進法は、底が複偶数で奇数の4倍であるため、1/8周である4510(3912 , 2520)の倍数は、一の位が0になるのは半周である18010(13012 , 9020)の倍数のみとなる。
    • 1/4周である9010の倍数のうち、単偶数は7612 , 4A20(いずれも9010)、1A612 , DA20(いずれも27010)というように一の位には底の1/2になる偶数が現れる。
    • 4510の倍数で、奇数はB312 , 6F20(いずれも13510)、16912 , B520(いずれも22510)、22312 , FF20(いずれも31510)というように、一の位には底の1/4か3/4になる奇数が現れる。
    • 一の位が0になる例として、1周である36010(26012 , I020)、1周半である54010(39012 , 17020)、2周である72010(50012 , 1G020)などが該当する。

その他の単偶数に関する事柄編集

脚注編集

[脚注の使い方]

注釈編集

  1. ^   に対し、 

出典編集

  1. ^ McDaniel, Wayne L. (1982). “Representations of every integer as the difference of powerful numbers”. Fibonacci Quarterly 20: 85–87. 

関連項目編集

外部リンク編集

  • Weisstein, Eric W. "Singly Even Number". MathWorld (英語).