双曲線軌道

軌道力学ないし天体力学において双曲線軌道(hyperbolic trajectory)とは、ケプラー軌道の中で離心率が1よりも大きい軌道を指す。通常、この軌道上を運動する物体は中心天体に対して無限に遠ざかる。

青い線が双曲線軌道の例.

放物線軌道と同様、双曲線軌道もまた脱出軌道である。ただし、双曲線軌道上をとる物体の軌道エネルギーは０より大きい（放物線軌道では0）、つまり、無限遠で運動エネルギーを失う放物線軌道と異なり無限遠でも運動エネルギーを有する。

軌道の表現編集

「軌道要素」も参照

2次曲線は焦点を原点とする極座標 $(r, φ)$ により

r={\frac {L}{1+e\cos \phi }}

で表される。離心率が $e > 1$ である双曲線の場合は、 $cos φ = -1/ e$ 、あるいは $tan φ = \pm\sqrt(e 2 - 1)$ において分母がゼロとなるため、 $φ \to \pmarctan \sqrt(e 2 - 1)$ において焦点からの距離が $r \to \infty$ となる。

双曲線において長半径に相当するパラメータは、楕円と同じく

a={\frac {L}{1-e^{2}}}<0

と定義して負のパラメータに選ぶ場合と、符号を変えて

a=\left|{\frac {L}{1-e^{2}}}\right|={\frac {L}{e^{2}-1}}>0

と定義して正のパラメータに選ぶ場合の2通りの選び方がある。以降では前者を採用する。

真近点角 $φ = 0$ のとき、近点距離

r_{\text{min}}={\frac {L}{1+e}}=|a|(e-1)=a(1-e)

となる。

無限遠点での速さ編集

双曲線軌道における、中心天体から無限に離れた地点での速さ( $v_{\infty }\,\!$ )は、エネルギー保存則より、

$v_{\infty }={\sqrt {\mu \over {-a}}}\,\!$

ここで

$\mu \,\!$ は中心天体の重力定数
$a\,\!$ は双曲線の軌道長半径に-1を掛けたもの

を表す。

$v_{\infty }\,\!$ は(単位質量あたりの)軌道エネルギーと以下の式により一意に関係付けられる。

$2\epsilon =C_{3}=v_{\infty }^{2}\,\!$

ここで、

$\epsilon \,\!$ は(単位質量あたりの)軌道エネルギー
$C_{3}\,$ は特性エネルギー

を表す。

軌道速度編集

双曲線軌道において、軌道速度 ( $v\,$ )は以下の通り計算される。

v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}

ここで

$\mu \,$ は中心天体の重力定数
$r\,$ は中心天体からの距離,
$a\,\!$ は双曲線の軌道長半径に-1を掛けたもの

を表す。

関連する項目編集

外部リンク編集

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