数学において、双極定理(そうきょくていり、: bipolar theorem)とは、がその双極と等しいための必要十分条件を与える凸解析の一定理である。双極定理は、フェンシェル=モローの定理の特別な場合と見なすことが出来る[1]:76–77

定理の内容編集

ある線型空間   内の任意の空でない集合   に対し、双極錐   は次で与えられる。

 

ここで  凸包を表す[1]:54[2]

特別な場合編集

  が空でない凸錐であるための必要十分条件は、  であるときに   であることである。ここで   は正の双対錐を表す[2][3]

あるいはより一般に、  が凸錐であるなら双極錐は次で与えられる。

 

フェンシェル=モローの定理との関係編集

  はある錐   に対する指示函数とする。このとき、凸共役    に対する支持函数英語版であり、  である。したがって、  であるための必要十分条件は、  である[1]:54[3]

参考文献編集

  1. ^ a b c Borwein, Jonathan; Lewis, Adrian (2006). Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples (2 ed.). Springer. ISBN 9780387295701 
  2. ^ a b Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004) (pdf). Convex Optimization. Cambridge University Press. pp. 51–53. ISBN 9780521833783. http://www.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf 2011年10月15日閲覧。 
  3. ^ a b Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. pp. 121–125. ISBN 9780691015866