固有値問題の数値解法

行列に対する固有値問題を数値的に解く技術の総称
数学 > 数値解析 > 数値線形代数 > 固有値問題の数値解法

数値線形代数において高速・高精度で安定固有値問題の数値解法(こゆうちのすうちかいほう、: Eigenvalue Algorithms)の開発および厳密な誤差評価の確立は至上命題の一つであり、この目標を達するためにLAPACKをはじめ多くのライブラリが開発されてきた[1][2]

数値解法の必要性編集

5次以上の行列において、有限回の代数的操作によって厳密な固有値を求める直接法はない(固有値問題の数値解法は反復法に限られる)。もし有限回の代数的操作で厳密な固有値を求める直接法があるならば、 代数方程式:

 

の解 同伴行列:

 

の固有値として有限回の代数的操作によりいつでも求まることになるが、これはガロア理論の結論と相いれない[1]

固有ベクトルの計算編集

固有値問題の数値解法は数多くあるが、すべての方法が固有ベクトルの計算まで行えるわけではない。固有ベクトルの計算方法として例えば以下がある[1][2]

代表的な手法編集

出典編集

[脚注の使い方]
  1. ^ a b c d 山本哲朗『数値解析入門』サイエンス社〈サイエンスライブラリ 現代数学への入門 14〉、2003年6月、増訂版。ISBN 4-7819-1038-6
  2. ^ a b c 森正武. 数値解析 第2版. 共立出版.
  3. ^ 解析学百科II 可積分系の数理、朝倉書店、中村佳正 et al. (2018)
  4. ^ 可積分系の機能数理、共立出版、中村佳正。
  5. ^ Moler, C. B., & Stewart, G. W. (1973). An algorithm for generalized matrix eigenvalue problems. en:SIAM Journal on Numerical Analysis, 10(2), 241-256.
  6. ^ 桑島豊, & 重原孝臣. (2005). 実対称三重対角固有値問題の分割統治法の拡張 (行列・固有値問題における線形計算アルゴリズムとその応用). 日本応用数理学会論文誌, 15(2), 89-115.
  7. ^ 桑島豊, & 重原孝臣. (2006). 実対称三重対角固有値問題に対する多分割の分割統治法の改良 (理論, 行列・固有値問題の解法とその応用, 平成 18 年研究部会連合発表会). 日本応用数理学会論文誌, 16(4), 453-480.
  8. ^ Sakurai, T., & Sugiura, H. (2003). A projection method for generalized eigenvalue problems using numerical integration. en:Journal of computational and applied mathematics, 159(1), 119-128.
  9. ^ Sakurai, T., & Tadano, H. (2007). CIRR: a Rayleigh-Ritz type method with contour integral for generalized eigenvalue problems. Hokkaido mathematical journal, 36(4), 745-757.
  10. ^ Tsutomu Ikegami, Tetsuya Sakurai and Umpei Nagashima: A Filter Diagonalization for Generalized Eigenvalue Problems Based on the Sakurai-Sugiura Projection Method, J. Compu. Appl. Math., Vol.233, No.8, pp.1927–1936 (2010).
  11. ^ Anthony P. Austin and Lloyd N. Trefethen: Computing Eigenvalues of Real Symmetric Matrices with Rational Filters in Real Arithmetic, SIAM J. Sci. Comput, Vol.37, No.3, pp.A1365–A1387 (2015).
  12. ^ Hiroshi Murakami: Filter Diagonalization Method by Using a Polynomial of a Resolvent as the Filter for a Real Symmetric-Definite Generalized Eigenproblem, in proceedings of EPASA2015, Springer, LNCSE-117, pp.205–232 (2018).
  13. ^ Hiroshi Murakami: Filters Consist of a Few Resolvents to Solve Real Symmetric-Definite Generalized Eigenproblems, Japan J. Indust. Appl. Math., Vol.36, No.2, pp.579–618 (July 2019).

参考文献編集

和書編集

  • 数値線形代数の数理とHPC, 櫻井鉄也, 松尾宇泰, 片桐孝洋編(シリーズ応用数理 / 日本応用数理学会監修, 第6巻)共立出版, 2018.8
  • 『精度保証付き数値計算の基礎』大石進一 編著、コロナ社、2018年。
  • 大石進一:「精度保証付き数値計算」、コロナ社、(1999年)

洋書編集

  • David S. Watkins (2008), The Matrix Eigenvalue Problem: GR and Krylov Subspace Methods, SIAM.
  • Saad, Y. (2011). Numerical methods for large eigenvalue problems: revised edition. SIAM.
  • Bai, Z., Demmel, J., Dongarra, J., Ruhe, A., & van der Vorst, H. (Eds.). (2000). Templates for the solution of algebraic eigenvalue problems: a practical guide. SIAM.
  • Lehoucq, R. B., Sorensen, D. C., & Yang, C. (1998). ARPACK users' guide: solution of large-scale eigenvalue problems with implicitly restarted Arnoldi methods. SIAM.
  • Wilkinson, J. H. (1965). The algebraic eigenvalue problem. Clarendon: Oxford.
  • Chatelin, F. (Ed.). (2012). Eigenvalues of Matrices: Revised Edition. SIAM.

外部リンク編集