三角形の3本の垂線と垂心
三角形ABCの垂心は三角形A'B'C'の外心に一致する

初等幾何学における垂心(すいしん、: orthocenter)は、三角形の3つの頂点から対辺に引いた三本の垂線の交点。

性質編集

 
三角形の垂心で交わる3本の頂垂線によって作られる6つの角には、図のように当該三角形の3つの角が2つずつ含まれる。 また、三角形の各辺を頂垂線との交点で分割し、分割後のそれぞれの長さの辺を持つ正方形を作り(6つ)、 図のように時計回りに赤・青・赤・青・赤・青とグループ分けして、赤と青の面積を求めると、両面積は等しくなっている。

3つの頂点を A,B,C、垂心を H、3本の垂線の足を Ha,Hb,Hc とする。

  • 重心外心と同一直線上にある。この線をオイラー線という。
  • 直角三角形の垂心は、直角となる頂点である。鈍角三角形の垂心は、その三角形の外部にある。
  • 垂心は三角形HaHbHc内心か傍心となる。
  • 垂心と外心の中点は九点円の中心である。
  • 三角形ABHの垂心は、Cである。
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    • a,b,c は3辺の長さ。α・β・γは3つの角。R は外接円の半径である。
  • P を外接円上の点とし、M を PH の中点とする。
  • 各頂点ABCを通る対辺に対する平行線を3本とも引き、新たな三角形A'B'C'を作る(右図参照)。このとき、三角形ABCの垂心と三角形A'B'C'の外心は一致する。

垂心の座標編集

座標平面において、3頂点の座標を(xa,ya), (xb,yb), (xc,yc)とすると、垂心の座標は以下のようになる。

 

3頂点が単位円周上にある場合、以下のように簡単に書くことができる。

(xa+xb+xc,ya+yb+yc)

重心座標による垂心の座標は tanα:tanβ:tanγ となる。

関連項目編集

外部リンク編集

  • Weisstein, Eric W. "Orthocenter". MathWorld(英語).
  • orthocenter - PlanetMath.(英語)
  • Definition:Orthocenter at ProofWiki