変形勾配(へんけいこうばい、: deformation gradient)または変形勾配テンソル: deformation gradient tensor)とは、連続体力学において、物体変形を特徴付けるテンソル量である。

基準配置における物質点X およびその近傍の点X + dX が、変形後にそれぞれ点x , x + dx に移ったとする。dX が微小であれば、dx線形近似できて

のように書ける。このときF を変形勾配と呼ぶ。変形勾配は物質座標系における量を空間座標系における標記へ変換するという意味を持つ[1]

基準配置X に対し、時刻t における変形勾配をF(t) 、時刻τ における変形勾配をF(τ) 、そして時刻τ からt への変形の変形勾配をF(τ, t) と書けば、これらの間には次の関係が成り立つ[1]

変形勾配の行列式 det F体積変化率と呼ばれる。

極分解とひずみテンソル編集

変形勾配は極分解定理英語版により次のように2つのテンソルの積に分解できる[2]

 

ここでR直交テンソルである。V左ストレッチテンソル: left stretch tensor)、U右ストレッチテンソル: right stretch tensor)と呼ばれ、それぞれ正定値対称テンソルである。この分解は、任意の変形は剛体回転R とストレッチテンソルV , U の主方向への伸縮との重ね合わせで表現できるという幾何学的意味を持つ。

さらにここから以下のテンソルが定義される。ここでu = x - X変位ベクトルである。

左コーシー・グリーンテンソル、右コーシー・グリーンテンソル
 
アルマンシー(Almansi)のひずみテンソル
 
グリーンのひずみテンソル
 

これらのテンソルを用いると、物体内の距離dX , dx の変化は次のように記述できる。

 

微小変形においては、アルマンシーのひずみテンソルとグリーンのひずみテンソルは一致する。

速度勾配テンソル編集

変形が時間とともに進むとき、その速度は速度勾配テンソルL で記述される。

 

速度勾配テンソルL対称部分は変形速度テンソル反対称部分は回転速度テンソルと呼ばれる[1]

プッシュフォワード、プルバック編集

変形勾配は基準配置を参照するテンソルと現在配置を参照するテンソルの変換作用素となる役割を持つ。たとえば冒頭で述べた

 

のように、基準配置を参照する座標dX を現在配置を参照する座標dx に変換する。このことを、dXdxプッシュフォワードされる、あるいはdXdxプルバックであるという[3]

例としては、アルマンジひずみe はグリーンひずみE のプッシュフォワードであり、変形勾配を用いて以下のように変換される:

 

また、キルヒホッフ応力テンソルτ(コーシー応力と体積変化率の積)は第2パイオラ・キルヒホッフ応力テンソルS のプッシュフォワードである:

 

脚注編集

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  1. ^ a b c 白樫正高; 増田渉; 高橋勉 『流体工学の基礎』 丸善、2006年、80-84頁。ISBN 4-621-07779-1 
  2. ^ 渋谷陽二 『塑性の物理』 森北出版、2011年、3-11頁。ISBN 978-4-627-66761-7 
  3. ^ 非線形CAE協会編 『例題で学ぶ連続体力学』 森北出版、2016年、234頁。ISBN 978-4-627-94821-1 

関連項目編集