変形勾配

変形勾配（へんけいこうばい、英: deformation gradient）または変形勾配テンソル（英: deformation gradient tensor）とは、連続体力学において、物体の変形を特徴付けるテンソル量である。

基準配置における物質点 $X$ およびその近傍の点 $X + d X$ が、変形後にそれぞれ点 $x, x + d x$ に移ったとする。 $d X$ が微小であれば、 $d x$ は線形近似できて

\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {X}}+\mathrm {d} {\boldsymbol {X}})-{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {X}})={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial {\boldsymbol {X}}}}\mathrm {d} {\boldsymbol {X}}=F\mathrm {d} {\boldsymbol {X}}

のように書ける。このとき $F$ を変形勾配と呼ぶ。変形勾配は物質座標系における量を空間座標系における標記へ変換するという意味を持つ^[1]。

基準配置 $X$ に対し、時刻 $t$ における変形勾配を $F (t)$ 、時刻 $τ$ における変形勾配を $F (τ)$ 、そして時刻 $τ$ から $t$ への変形の変形勾配を $F (τ, t)$ と書けば、これらの間には次の関係が成り立つ^[1]。

F(\tau ,t)=F(t)F^{-1}(\tau ).

変形勾配の行列式 $det F$ は体積変化率と呼ばれる。

極分解とひずみテンソル編集

変形勾配は極分解定理（英語版）により次のように2つのテンソルの積に分解できる^[2]。

F=VR=RU

ここで $R$ は直交テンソルである。 $V$ は左ストレッチテンソル（英: left stretch tensor）、 $U$ は右ストレッチテンソル（英: right stretch tensor）と呼ばれ、それぞれ正定値対称テンソルである。この分解は、任意の変形は剛体回転 $R$ とストレッチテンソル $V, U$ の主方向への伸縮との重ね合わせで表現できるという幾何学的意味を持つ。

さらにここから以下のテンソルが定義される。ここで $u = x - X$ は変位ベクトルである。

左コーシー・グリーンテンソル、右コーシー・グリーンテンソル: $B=V^{2}=FF^{\mathrm {T} },\quad C=U^{2}=F^{\mathrm {T} }F$
アルマンシー（Almansi）のひずみテンソル: ${\begin{aligned}e&={\frac {1}{2}}(I-B^{-1}),\\e_{ij}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right)\end{aligned}}$
グリーンのひずみテンソル: ${\begin{aligned}E&={\frac {1}{2}}(C-I),\\E_{ij}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial X_{i}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{j}}}\right)\end{aligned}}$