外延性の公理

外延性の公理（がいえんせいのこうり、英: axiom of extensionality）は、ZF公理系を構成する公理の一つで、「全く同じ要素からなる2つの集合は等しい」ことを主張するものである。

定義

A, Bを任意の集合とするとき、もし任意の集合Xについて「XがAの要素であるならば、そのときに限りXはBの要素である」が成り立つならば、AとBは等しい。すなわち、

$\forall A\,\forall B\,(\forall X\,(X\in A\iff X\in B)\Rightarrow A=B)$

性質

この公理は、「集合はそれが含む要素によって一意に定まる」ことを主張する。 例えば、{a, b｝と{b, a｝が等しいことや、{a, a｝が{a}と等しい（すなわち多重集合は存在しない）ことなどが導かれる。

等式の代入原理によりこの公理の逆も成り立つので、実際は

$\forall A\,\forall B\,(\forall X\,(X\in A\iff X\in B)\iff A=B)$

が成り立つことになる。

他の公理との関係

空集合の公理、対の公理、和集合の公理、冪集合公理で存在が主張される集合はそれぞれ、外延性の公理により一意に定まる。

参考文献

• ケネス・キューネン『集合論 独立性証明への案内』藤田博司訳、日本評論社、2008年、ISBN 978-4-535-78382-9