数学における多項係数(たこうけいすう、: Multinomial coefficient)は二項係数の一般化である。

定義編集

非負整数列 k1, k2, …, kr および n = k1 + k2 + … + kr に対し、多項係数

 

で定義される。ここに x!x階乗を表す。

多項係数は必ず整数である。多項係数は二項係数を用いて

 

と表すこともできる。

応用と解釈編集

多項定理編集

二項定理の一般化として、多項定理と呼ばれる等式

 

が成立する。特に x1 = x2 = … = xr = 1 と置くことにより

 

が直ちに得られる。

多項分布編集

多項係数の応用として、多項分布

 

は離散確率変数に関する確率分布である。

組合せ論的解釈編集

組み分け問題編集

多項係数 (n
k1,k2,…,kr
)
n 個の対象を r 個の区別のつく箱に分けて入れるとき、各 i 番目の箱にちょうど ki 個の対象が含まれるように入れる方法の総数である。

重複置換の問題編集

多項係数 (n
k1,k2,…,kr
)
は、1 ≤ ir に対して各々ちょうど ki 個の区別不能な対象が含まれる n 個の対象の置換の総数にも等しい。

問い. MISSISSIPPI の文字を並べ替えて得られる「語」は相異なるものが全部でいくつあるか?

この11文字の並べ替えの総数を数える必要があるが、一種類目の文字 M が 1 個 (k1 = 1), 二種類目の文字 I が 4 個 (k2 = 4), 三種類目の文字 S が 4 個 (k3 = 4), 残りは P が 2 個 (k4 = 2) であるから、多項係数

 

が答えを与える。これと対照的に、もし11文字全てが区別可能であったならば、その総数は 11! = 39,916,800 とずっと多くなる。

パスカルの単体編集

二項係数に対するパスカルの三角形の類似対応物として、r-変数の多項係数にも幾何学的な図形(単体)が対応し、パスカルの r-単体英語版と呼ばれる。r = 3 のときは特に、三項係数ドイツ語版に対するパスカルの三角錐英語版と呼ばれる。

外部リンク編集

  • Weisstein, Eric W. "Multinominal Coefficient". MathWorld (英語).