メインメニューを開く

天元術(てんげんじゅつ)は、中国で生まれた代数問題の解法である。

目次

歴史編集

天元という言葉の初出は、蒋周の『益古集』(1080年)である。

天元術は末の13世紀に発展した。重要な教科書朱世傑の『算学啓蒙』(1299年)である。日本では1658年万治元年)に出版され、これを通して天元術は和算の発展の元となった。

内容編集

天元術は代数学の問題の解法であり、算木算盤とを使う(籌算)。

問題の答えとして求める数を仮に 0+x の形で設け、これを「天元の一」(てんげんのいち)と言う。天元術は「天元の一を立て、何々とす」という言い回しから始まり、これが西洋数学でいう「何々を x と置く」にあたる。それから論を進めて算盤上に1元代数方程式を求め、そのを導いて答えを得る。

天元術は1元代数方程式のみを扱うが、多元連立方程式を扱う二元術・三元術・四元術も生まれた。ただしこれらはほとんど広まらず、四元術の書である朱世傑の『四元玉鑑』は19世紀に再発見された。この中で二元術・三元術の書についても言及しているが、これらは現存しない。

沢口一之は、日本で初めて天元術を正しく理解して扱った『古今算法記』を著し、その中に天元術では解けない問題を遺した(遺題継承)。

その問題を解くために関孝和は天元術を発展させた。筆算表記法の傍書法によって多変数の方程式を表した。その際、連立方程式の変数を消去する必要があるが、関は消去の一般論を重視して、終結式の理論を完成させた[1]。さらにそれを解く点竄術を編み出し、和算を大いに進展させた。四元術とは異なる形で、独創的な文字係数の扱いを確立した[2]

用例編集

  1. 天元の一を立てて仮に求める値(未知数)とする
  2. 題の条件によって加減乗除を施して既知数と等しい式を作り、それと既知数とを相消することで開方式(方程式)を得る。
  3. それを開方して答えを得る。

相消とは等しい数を減じて0の値を得ることで、西洋数学の等号で結ぶこと、また等式の右辺を0にすることにあたる。

例として「いま長方形がある。その長方形の面積は15で、長辺と短辺のが8であるとき、長辺と短辺の長さはそれぞれいくらか」という問題を天元術で解こう。

求める数を長辺とし、まず「天元の一を立てて長辺とす」と言って、算盤の実級(定数項)を空 (0) とし、法級(xの1次項)に係数1の算木を敷く。すなわち 0+x の式である。

 


次に「長短辺の和8より長辺(つまり未知数 x)を減じ、短辺とする」と言って、実級に8の算木を、法級に-1の算木を敷く。これが 8-x=短辺 を意味する。

 


この式(つまり短辺)を長辺(すなわち x)と、あい乗じて積とする。x が掛かって次数が1上がるので、法級に8を、廉級(x2 の項)に-1を敷く。つまり 0+8x-x2=積 である。「これを左に寄す」と言って、ひとまずこの式をおいておく。

 


この式が積に等しいので「積15を列しこれを左に寄すと相消す」と言い、左に寄せた式より積15を引き、長辺 x を得る開方式を得る。すなわち方程式 -15+8x-x2=0 である。

 


これに増乗開方法を適用して、商(根)に長辺の値5を得る。また長辺短辺の和8よりこれを引いて、短辺3を得る。

脚注編集

外部リンク編集