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数学において、形式的冪級数(けいしきてきべききゅうすう、: formal power series)とは、(形式的多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。例えば、(X不定元として)

は(多項式ではない)冪級数である。

定義編集

A可換とは限らないとする。A に係数をもち X を変数(不定元)とする(一変数)形式的冪級数 (formal power series) とは、各 ai (i = 0, 1, 2, …) を A の元として、

 

の形をしたものである。ある m が存在して nm のとき an = 0 となるようなものは多項式と見なすことができる。

形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。和と積の定義は以下のようにする。

 
 

すなわち和と積は形式的に定義し、環の元と不定元は可換であるとする。

より形式的な定義編集

を非負整数全体の集合とし、配置集合 A すなわち から A への関数(A に値を持つ数列)全体を考える。この集合に対し

 
 

によって演算を定めると、A は環になることが確かめられる。これが形式的冪級数環 A[[X]] である。

ここでの (an) は上の
anXn
と対応する。

合成編集

定数項が 0 の形式的冪級数は、別の冪級数に代入することができる。すなわち、  とすると、(g(X))nn − 1 次以下の項をもたないので、合成

 

が意味をもつ。例えば

 

は形式的冪級数としても正しい等式である。

性質編集

以下では A を単位元をもつ可換環とし、  とする。

  • fA[[X]]単元であることと a0A の単元であることは同値である。
  • f冪零であれば、すべての an は冪零である。逆は一般には成り立たないが、Aネーター環であれば成り立つ。
  • A がネーター環であれば、A[[X]] もネーター環である。
  • A整域であれば、A[[X]] も整域である。
  • fA[[X]]ジャコブソン根基に属することと、a0A のジャコブソン根基に属することは同値である。

形式微分編集

  に対し、 f形式微分という。a, bA, f, gA[[X]] に対し、(af + bg)′ = af′ + bg′, (fg)′ = f′g + fg′ などが成り立つ。

これは(複素あるいは実の)収束冪級数と考えると項別微分に相当するものである。

一般化編集

形式的ローラン級数編集

有限個の負冪も許したものは形式的ローラン級数と呼ばれる。正確には次の形のものである。N自然数、各 an を可換環 A の元として、

 .

このような元全体は環をなし、形式的ローラン級数環といい、A((X)) と表記する。とくに A が体 k であるとき、k((X)) も体であり、これは k[[X]] の商体でもある。

多変数の形式的冪級数編集

任意の個数(無限個でもよい)の不定元をもった形式的冪級数を定義することができる。Λ が添え字集合であり XΛλ ∈ Λ に対し不定元 Xλ 全体の集合とすれば、単項式 XαXΛ の元の任意の有限個の(重複を許した)積である。係数を環 A にもつ XΛ の形式的冪級数は単項式 Xα の集合から対応する係数 cα への任意の写像によって決定され、  と表記される。すべてのそのような形式的冪級数からなる集合を A[[XΛ]] と表記し、以下のように環の構造を与える。

 

および

 

一変数の場合と同様に、A[XI] ⊂ A[[XI]] である。

Λ := {1, 2, …, n} の場合には、A[[XΛ]] = A[[X1, X2, …, Xn]] とも書かれる。A[[X1, …, Xn]] = A[[X1, …, Xn-1]] [[Xn]] である。

性質編集

  • 多項式とは異なり、一般には、「代入」は意味を持たない。無限個の和が出てきてしまうからである。
しかし、例えば次のようなときには意味を持つ。可換環 A はイデアル I による I 進距離で完備であるとする。このとき   であれば、    を代入したものは収束する。
  • ネーター環 A 上の多項式環 B := A[X1, …, Xn] の、  による完備化は、A[[X1, …, Xn]] と同型である。これは    進位相による完備化とも同型である。
  • A がネーター環であれば、C := A[[X1, …, Xn]] もネーター環であり、A が整域であれば C も整域である。A が体であれば、C正則局所環 である。


参考文献編集