数学調和解析の分野における振動積分作用素(しんどうせきぶんさようそ、: oscillatory integral operator)とは、次の形式で記述される積分作用素のことを言う:

ここで、函数 S(x,y) は作用素のフェーズ(phase)と呼ばれ、函数 a(x,y) は作用素のシンボル英語版と呼ばれる。λ はパラメータである。しばしば、S(x,y)滑らかな実数値函数で、a(x,y) は滑らかかつコンパクトな台を持つ函数であると仮定される。通常、大きな値を取る λ に対する作用素 Tλ の挙動に、研究の興味は注がれる。

振動積分作用素は、数学の多くの分野(解析学偏微分方程式論積分幾何学英語版数論など)や、物理学の分野において、たびたび扱われる。振動積分作用素の性質は、エリアス・ステイン英語版とその学派によって研究されている[1]

ヘルマンダーの定理編集

振動積分作用素の L2L2 作用(あるいは、L2L2作用素ノルム)に対する上界についての次に述べる結果は、フーリエ積分作用素に関するラース・ヘルマンダーの論文[2]において得られたものである。

x,yRn, n ≥ 1 について考える。S(x,y) を実数値の滑らかな函数とし、a(x,y) を滑らかかつコンパクトな台を持つ函数とする。a(x,y) の台の上の至る所で   が成り立つなら、初めは滑らかな函数として定義される TλL2(Rn) から L2(Rn) への連続作用素へと拡張し、そのノルムが任意の λ ≥ 1 に対して   で評価されるようなある定数 C が存在する。すなわち、

 

が成立するような、ある定数 C が存在する。

参考文献編集

  1. ^ Elias Stein, Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals. Princeton University Press, 1993. ISBN 0-691-03216-5
  2. ^ L. Hörmander Fourier integral operators, Acta Math. 127 (1971), 79–183. doi 10.1007/BF02392052, http://www.springerlink.com/content/t202410l4v37r13m/fulltext.pdf