数論的関数(すうろんてきかんすう、: arithmetic(al) function)とは、定義域が正整数である複素数を値に持つ関数のことである。

複素数の無限数列 という対応で、数論的関数とみなすことができる。


素因数分解に関連する関数編集

正整数 n に対して

 

と素因数分解する。

この項では、   によって得られる数論的関数について述べる。


加法的関数編集

互いに素である正整数 mn に対して、  が成立するとき、加法的関数 (additive function)という。

つまり、

 

が成立する関数である。

特に、任意の正整数 mn に対して、  が成立するとき、完全加法的関数 (completely additive function)という。つまり、完全加法的関数とは

 

が成立する数論的関数である。


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  • 対数関数:  
  • n の相異なる素因数の個数を表す  
    •  
  • n の重複度を数えた素因数の個数を表す  
    •  
  • 素数 p に対して、n を割る最大指数を表す、 


乗法的関数編集

互いに素である正整数 mn に対して、  が成立するとき、乗法的関数 (multiplicative function)という。

つまり、

 

が成立する関数である。

特に、任意の正整数 mn に対して、  が成立するとき、完全乗法的関数 (completely multiplicative function)という。つまり、完全乗法的関数とは

 

が成立する数論的関数である。


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  • 約数関数 σx(n) は乗法的関数であるが、完全乗法的関数ではない。

q進展開に関連する関数編集

q を 2以上の正整数とする。

このとき、任意の正整数 n に対して

 

q 進展開する。


この項では、   によって得られる数論的関数について述べる。


q加法的関数編集

  を満たすとき、q加法的関数 (q-additive function)という。

特に、q加法的関数      を満たすとき、強q加法的関数 (strongly q-additive function)という。


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  • sum of digits 関数  
  • digit counting 関数   但し、b  のいずれか。


q乗法的関数編集

  を満たすとき、q乗法的関数 (q-multiplicative function)という。

特に、q乗法的関数      を満たすとき、強q乗法的関数 (strongly q-multiplicative function)という。


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  • トゥエ=モース数列  
  • product of digits 関数  


その他の数論的関数編集

(1) 素数に関係する関数

  • n 以下の素数の個数を与える  
  • フォン・マンゴルト関数:  
    •  
  •  
  •  


(2) 数の表現・分割

  • n を2つの平方数の和で表す表し方の数を与える  
  • n を正整数の和で表す表し方の数を与える  
  • ウェアリングの問題
    • 全ての正整数が s 個の k 乗数の和で表される様な s の最小値  
    • 十分大きな全ての正整数が s 個の k 乗数の和で表される様な s の最小値  


性質編集

代数的性質編集

数論的関数   に対して、ディリクレ積  

 

と定めると、  は数論的関数となる。従って、数論的関数全体集合は多元環となる。


乗法的関数   に対して、ディリクレ積   で得られた数論的関数は乗法的関数となる。


数論的関数   が、ある正数 C と、数論的関数   が存在して、  と表されるとする。すると、  が(完全)乗法的関数である必要十分条件は、  は(完全)加法的関数である。


位数編集

(1) 最大位数

数論的関数   に対して、ある単純な形をした n の関数   が存在して

 

が成立するとき、 最大位数  であるという。


(2) 平均位数

数論的関数   に対して、ある単純な形をした n の関数   が存在して

 

が成立するとき、 平均位数  であるという。

従って、  は、だいたい   であると思われるが、数論的関数の多くは、値の振る舞いが複雑であり、  がほぼ   である様な n は正整数のなかで少数であることも珍しいことではない。


(3) 正規位数

任意の正数 ϵ とほとんど全て[1]の正整数 n に対して

 

が成立するとき、 正規位数  であるという。


平均位数と正規位数は、常に存在する訳ではない。 平均位数は持つが正規位数はもたない、その逆で、平均位数は持たないが正規位数を持つ数論的関数が存在する。


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(1) 約数関数  

最大位数は、

 

であり、平均位数は   である。 さらに   の正規位数は   である。 従って、任意の正数 ε とほとんど全ての正整数 n に対して

 

が成立する。

つまり、ほとんど全ての正整数に対して、  の値は、平均位数よりも小さい。


(2) 約数和関数  

最大位数は

 

であり、平均位数は   である。


(3) オイラー関数  

最大位数は   であり、平均位数は   である。


(4) n の相異なる素因数の個数を表す関数  

平均位数および正規位数は共に   である.


(5) n の重複を込めた素因数の個数を表す関数  

平均位数および正規位数は共に   である.


(6) 素数の個数を表す  

正規位数は、  である。


注釈編集

  1. ^ 条件を満たさない n 以下の正整数の個数を n で割った値が 0 に収束するという意味。

参考文献編集

  • ハーディ, G.H.、ライト, E.M.『数論入門 I, II』示野 信一・矢神 毅訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、2001年。
  • Tattersall, J. J.『初等整数論9章 [第2版]』小松 尚夫訳、森北出版、東京、2008年。
  • H. Delange (1972). “Sur les fonctions q-additive ou q-multiplicatives”. Acta. Arith. (21): 285-298. 


関連項目編集