方べきの定理方冪の定理方羃の定理方巾の定理、ほうべきのていり、: power of a point theorem[1])は、平面初等幾何学定理の1つである。

内容編集

O とその円周上にないP を取り、点P を通る2本の割線(円との共有点が2個の直線)と円O の交点を A, B と C, D とすると、(図1、図2)

 

が成り立つ。

また、P が円O の外側にあるとき、一方の割線が円O の接線となる場合にも、円と割線の交点を A, B、接点を T とすると、(図3)

 

が成り立つ。

証明編集

P が円O の内側にある場合   左の図において、同一の弧に対する円周角は互いに等しいから
∠BAC = ∠BDC
∠ACD = ∠ABD

このことにより、二角相等

△PAC ∽ △PDB

よって

PA : PC = PD : PB

ゆえに

PA ・ PB = PC ・ PD
P が円O の外側にある場合   左の図において、円に内接する四角形の外角の大きさは、その内対角の大きさに等しいから、
∠PAC = ∠PDB
∠PCA = ∠PBD

二角相等

△PAC ∽ △PDB

よって

PA : PC = PD : PB

ゆえに

PA ・ PB = PC ・ PD
一方の割線が接線になる場合   左の図において、接弦定理により、
∠PTA = ∠PBT

また、共通の角で

∠TPA = ∠BPT

二角相等

△PAT ∽ △PTB

よって

PA : PT = PT : PB

ゆえに

PA ・ PB = PT2

脚注編集

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  1. ^ Power of a Point Theorem”. 数学も英語も強くなる! 意外な数学英語 Unexpected Math English. 2021年1月26日閲覧。

参考文献編集

  • H.S.M.コクセター『幾何学入門』(上)、銀林浩訳、筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉、2009年9月10日、161-165頁。ISBN 978-4-480-09241-0

外部リンク編集

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