昇鎖条件(しょうさじょうけん、: ascending chain condition; ACC)および降鎖条件(こうさじょうけん、: descending chain condition; DCC)とは、ある代数的構造が満たす有限性に関する性質である。これらの性質を持つ代数的構造で最も代表的なものに、可換環イデアルがある[1][2][3]。昇鎖条件および降鎖条件は、ダフィット・ヒルベルトエミー・ネーターエミール・アルティンらが可換環の構造に関する理論を構築する上で、重要な役割を果たした。

昇鎖条件および降鎖条件それ自体は、いかなる半順序集合に対しても意味を持つような、抽象的な形式で表すことができる。この考え方は Gabriel–Rentschler による抽象代数の次元に関する理論において有用である。


定義編集

半順序集合 P において、任意の真の上昇列 a1 < a2 < a3 < ... が有限回で止まるときに昇鎖条件が成り立つと言う。この条件は次のようにも言い換えられる。任意の列

 

に対して、ある自然数 n が存在して、

 

が成り立つ。

同様に、半順序集合 P において、任意の真の下降列 a1 > a2 > a3 > ... が有限回で止まるときに降鎖条件が成り立つと言う。この条件は次のようにも言い換えられる。任意の列

 

に対して、ある自然数 n が存在して、

 

が成り立つ。

注釈編集

  • 「無限に続く真の上昇/下降列がない」ことと少し異なるそれよりも強い条件として、「任意に長い真の昇鎖/降鎖列が存在しない」(つまり列の長さの最大値が存在する)というものがある。
  • 降鎖条件を満たすことと、整礎であること、つまり任意の空でない部分集合が極小元をもつことは同値である。これは極小条件 (minimal condition) とも呼ばれる。
  • 昇鎖条件を満たすことと、逆整礎であること、つまり任意の空でない部分集合が極大元をもつことは同値である。これは極大条件 (maximal condition) とも呼ばれる。
  • 有限半順序集合は昇鎖条件と降鎖条件を満たす。
  • 降鎖条件を満たす全順序集合は整列集合と呼ばれる。

脚注編集

  1. ^ Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko 2004, p. 6, Prop. 1.1.4.
  2. ^ Fraleigh & Katz 1967, p. 366, Lemma 7.1.
  3. ^ Jacobson 2009, pp. 142, 147.

関連項目編集

参考文献編集

  • Atiyah, M. F.; MacDonald, I. G. (1969). Introduction to Commutative Algebra. Perseus Books. ISBN 0-201-00361-9 
  • Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, V. V. (2004). Algebras, rings and modules. Kluwer Academic Publishers. ISBN 1-4020-2690-0 
  • Fraleigh, John B.; Katz, Victor J. (1967). A first course in abstract algebra (5 ed.). Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-201-53467-3 
  • Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra. I. Dover. ISBN 978-0-486-47189-1