時不変系

時不変系（じふへんけい、英語: time-invariant system）は、その出力が時間に明示的に依存していない系である。入力信号 $x$ によって出力 $y$ が生成されるとき、時間をシフトさせた入力 $t\mapsto x(t+\delta )$ では出力も $t\mapsto y(t+\delta )$ となり、同じだけ時間をシフトしたものとなる。

形式的には、$S$ をシフト作用素としたとき（$S_{\delta }x(t)=x(t-\delta )$）、次が成り立つ $T$ を時不変作用素と呼ぶ。

$T(S_{\delta }x)=S_{\delta }(Tx)$

この属性は、系の伝達関数が時間の関数ではなく、入力と出力だけで表される場合に満足される。また、概略的に表すと次のようになる。

系が時不変であるとき、その系のブロックは任意の遅延について可換である。

単純な例

系が時不変かどうかを判定する例を示すため、次の2つの系を考える。

• 系 A: $y(t)=t\cdot x(t)$
• 系 B: $y(t)=10\cdot x(t)$

系 A は $x(t)$ と $y(t)$ 以外の部分で明示的に t に依存しているので、時変である。一方系 B は明示的に t に依存していないので、時不変である。

形式的な例

次に A と B の系がなぜ上述のように言えるのかを、形式的な証明によって示す。証明するために、第二の定義（系が時不変であるとき、その系のブロックは任意の遅延について可換である）を利用する。

系 A:

遅延のある入力 $x_{d}(t)=\,\!x(t+\delta )$ を与えると、次のようになる。

$y_{1}(t)=t\,x_{d}(t)=t\,x(t+\delta )$

ここで出力を $\delta$ のぶんだけ遅延させる。

$y(t)=t\,x(t)$

$y_{2}(t)=\,\!y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )$

$y_{1}(t)\,\!\neq y_{2}(t)$ であることは明らかであり、従ってこの系は時不変ではない。

系 B:

遅延のある入力 $x_{d}(t)=\,\!x(t+\delta )$ を与えると、次のようになる。

$y_{1}(t)=10\,x_{d}(t)=10\,x(t+\delta )$

ここで出力を $\delta$ のぶんだけ遅延させる。

$y(t)=10\,x(t)$

$y_{2}(t)=y(t+\delta )=10\,x(t+\delta )$

$y_{1}(t)=\,\!y_{2}(t)$ であることは明らかであり、従ってこの系は時不変である。他にも証明方法はあるが、これが最も容易である。

抽象的な例

シフト作用素を $\mathbb {T} _{r}$ と表す。ここで、$r$ はベクトルの添え字群がシフトされるべき量である。例えば、"advance-by-1" 系

$x(t+1)=\,\!\delta (t+1)*x(t)$

は、ここでの抽象的記法では次のようになる。

${\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}\,{\tilde {x}}$

ここで、${\tilde {x}}$ は次の式で与えられる関数である。

$\forall t\in \mathbb {R} \ {\tilde {x}}=x(t)$

シフトされた出力となる系は次のようになる。

$\forall t\in \mathbb {R} \ {\tilde {x}}_{1}=x(t+1)$

従って $\mathbb {T} _{1}$ は入力ベクトルを 1 だけ進める作用素である。

ここで、系を作用素 $\mathbb {H}$ で表す。この系が時不変であるのは、この作用素とシフト作用素の間で交換法則が成り立つ場合である。すなわち、

$\forall r\ \mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} =\mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}$

系の方程式が次のようであるとする。

${\tilde {y}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}$

この系が時不変であるとは、系の作用素 $\mathbb {H}$ を ${\tilde {x}}$ に適用してからシフト作用素 $\mathbb {T} _{r}$ を適用した場合と、シフト作用素 $\mathbb {T} _{r}$ を適用してから系の作用素 $\mathbb {H}$ を適用した場合で、結果が等価となる場合である。

系の作用素を先に適用すると、次のようになる。

$\mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} \,{\tilde {x}}=\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {y}}={\tilde {y}}_{r}$

シフト作用素を先に適用すると、次のようになる。

$\mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {x}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}$

従って、系が時不変なら次が成り立つ。

$\mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}={\tilde {y}}_{r}$

関連項目

• 有限インパルス応答
• LTIシステム理論
• 状態空間 (制御理論)