曲率

曲線や曲面の曲がり具合を表す量
曲率半径から転送)

曲率(きょくりつ、: curvature)とは、曲線曲面の曲がり具合を表す量である[1]

例えば、半径 r の円周の曲率は 1/r であり、曲がり具合がきついほど曲率は大きくなる。この概念はより抽象的な図形である多様体においても用いられる。曲面上の曲線の曲率を最初に研究したのは、ホイヘンスとされ、ニュートンの貢献もさることながら、オイラーは曲率の研究に本格的に取り組んだ。その他モンジュベルヌーイムーニエなども研究した[2]

曲線の曲率 編集

定義 編集

ある任意の曲線において、線上の点 P0 を基点とし、そこから曲線上の任意点 P位置ベクトル rP で表されるとする)までの距離を s とする。(この場合の s は一般座標上の距離か曲線上の長さのいずれでもよい。)

このとき点 P の位置は、

 

のように、変数 s の関数として表すことができる。(以下、特に断らない限り rP = r とする。)

このとき、点 P で接する方向の単位ベクトル(これを tP とする)は、

 

となる。(位置ベクトルの変位分 Δr が十分小さいとき、|Δr| = Δs であるから、これは単位ベクトルである。)

同様に、  と表される点 Q を考えるとき、点 Q 上の単位接線ベクトル tQ は、

 

であり、二つの単位接線ベクトル tPtQ のなす角度を Δθ とすると、

 

である。

Δθが十分小さい、すなわち Δs が十分小さいとき、

 

と見做せる。

従って、接線傾斜 Δθ の変動率である χ を以下のように定義できる。

 

一般に χ を曲率、χ の逆数 R曲率半径と言う。

また、特に曲線が高次のとき、Δs → 0 の極限で二つの接線によって決まる平面を、点 P における接触平面と言う。

性質 編集

更に、ts で微分すると、

 

が得られる。ここで n が主法線方向の単位ベクトルであり、主法線と接線は直交している。これは d r/ds が単位ベクトルのため、

 

となり、これを s について微分すると、

 

となるためである(ベクトル同士の内積がゼロとなるので、当該ベクトル同士は直交している)。

ベクトル tn外積

 

で得られるベクトル b が陪法線方向の単位ベクトルとなる。陪法線は接触平面に対する法線となっている。

出典 編集

  1. ^ "曲率". 百科事典マイペディア. コトバンクより2022年2月10日閲覧
  2. ^ 小林昭七『曲線と曲面の微分幾何』裳華房、1977年8月20日。ISBN 4785311193 

関連項目 編集

参考文献 編集