極値

この項目では、函数の極大・極小について説明しています。順序論については「極大元と極小元（英語版）」をご覧ください。

数学の初等解析学における極値（きょくち、英: extremum^{[注 1]}）は、適当な領域における関数（一般には、多変数や汎函数^[1]となり得る）の値の（通常の大小関係に対する、順序論的な意味での）最大元 (maximum) と最小元 (minimum) を総称するものである。

与えられた函数 $f$ の、とりうる最も大きな値を最大値、とりうる最も小さな値を最小値と呼び、それらを総称してその函数 $f$ の大域的（あるいは全域的）極値 (global extremum) という（そのような値が無いこともある）。 $f$ の定義域における適当な開集合 $U$ への制限 $f| U$ が最大値（resp. 最小値）をとるとき、その最大値（resp. 最小値）を $f$ の極大値 (maximal value)（resp. 極小値 (minimal value)）と呼ぶ。局所的に（つまり $U$ の中だけで）定まるという意味で、極大値のことを局所的最大値 (local maximum), 極小値のことを局所的最小値 (local minimum) と呼び、局所的極値 (local extremum) あるいは単に極値 (extremal value) と総称する。

極値定理によれば、コンパクト領域上定義された連続函数は必ず大域的極値を持つ。また停留点に関するフェルマーの定理（英語版）は、開領域上定義された可微分函数が極値をとるならば、極値点において必ず微分係数が消えていなければならないことを述べる。したがって大雑把には、コンパクト領域上の連続函数の最大値は、境界上の点・微分可能でない点・微分係数が消えている点における値を求めることに帰着される。

最適化理論において最大値や最小値を求めることは重要な目的である。汎函数の最大化・最小化には変分法が用いられる。

定義編集

f(x) をRⁿ の部分集合 A で定義された（つまり n 変数の）実数値関数とする。x₀ のある ε-近傍が A に含まれ、f(x₀) がその近傍に属する任意の点 x に対して f(x₀) ≥ f(x) を満たすとき、f(x) は x₀ において極大になるといい、f(x₀) を極大値という。同様に定義域に含まれる x₀ のある ε-近傍で、その近傍に含まれる任意の点 x に対して f(x₀) ≤ f(x) が成り立つとき、f(x₀) を極小値といい、f(x) は x₀ において極小になるといわれる。極小値または極大値をとることを極値をとるといい、極値をとる点のことを極値点という。^[2]

上の定義において、≥ を > に、≤ を < に置き換えたものをそれぞれ狭義の極大、狭義の極小と呼ぶこともある。例えば定数値関数はその定義域の内点ではすべて極値をとるが、それらは狭義の極大・極小ではない。

またこの定義では、極値点を定義域の内点に限定しているため、最大・最小値が極値になるとは限らない。例えば関数が区間の端の点で最大値を取っても、極大にはなっていない。しかし内点で最大値を取ればそれは極大値でもある。

極値点の判定編集

多変数関数 $f (x)$ が微分可能ならば、 $f$ が $x = a$ で極値をとるためには、 $f$ の一次微分 $f'$ が点 $a$ において $0$ となることが必要条件となる。すなわち、関数 $f$ の極値点は関数 $f$ の停留点（英: stationary point）でなければならない。

しかし、すべての停留点において $f$ が極値をとるわけではなく、停留点の条件は必要であっても十分ではない。たとえば一変数の例として、 $f (x) = x 3$ は $x = 0$ において微分が $0$ になるが、この点では極値を取らず、区間全体でこの関数は単調増加である。その場合、一変数ならば高次の微分の正負を調べることで極値を取るかどうかを判断できる。しかし、多変数関数ではこの問題は複雑になる。ある停留点を持つ関数について、その関数が停留点において極値ないし最大値（最小値）をとるかどうかを調べるには、また特別な手段が必要である。