標準型ゲーム

標準型ゲーム（ひょうじゅんがたげーむ、英: normal form game）は、展開型ゲームと並び非協力ゲームの基本的表現形式であり、プレイヤー集合、戦略空間、利得関数の 3 つの要素から構成される。展開型ゲームは標準型ゲームより多くの情報を含んでおり、すべての展開型ゲームは標準型ゲームに変換することができる。一方、標準型ゲームは同時手番ゲームとみなすことができる。プレイヤー集合及び戦略空間が有限集合のとき、ナッシュ均衡および完全均衡が混合戦略の範囲で存在することが知られている（ナッシュの定理）。
標準型ゲームは、正規形ゲームあるいは戦略型ゲーム（英: strategic form game）とも呼ばれる。

定義編集

標準型ゲームとは 3 つ組 G = (N, S, u) として表現され、それぞれ、N はプレイヤーの集合、 $S=\prod _{i\in N}S_{i}$ は戦略空間、 $u=(u_{i})_{i\in N},\;(u_{i}:S\to \mathbb {R} )$ の各要素 u_i は利得関数と呼ばれる。N および S が有限集合のとき、有限ゲームと呼ばれることがある。

プレイヤー i の純粋戦略 (pure strategy) とは、戦略集合 S_i の要素のことをいう。S_i が有限集合のとき、プレイヤー i の混合戦略 (mixed strategy) とは、写像 $\sigma _{i}:S_{i}\to [0,1]$ のうち $\sum _{s_{i}\in S_{i}}\sigma _{i}(s_{i})=1$ をみたすもののことをいう。S_i が有限集合でない場合は、適当な S_i 上の σ-代数を 1 つ定め、その上の確率測度を混合戦略と呼ぶ場合がある。

2人ゲームの場合、すなわち、プレイヤーが2人の場合には双行列ゲーム (bimatrix game) ^[1]として表すことがある。特に、以下のようにプレイヤーと戦略を明示する表現がしばしば用いられる^[2]。以下では N ={A, B}, S_A ={a₁, a₂, ..., a_{m_A}}, S_B ={b₁, b₂, ..., b_{m_B}} としている。

プレイヤーB プレイヤーA	戦略b₁	⋯	戦略b_{m_B}
戦略a₁	u_A(a₁, b₁), u_B(a₁, b₁)	⋯	u_A(a₁, b_{m_B}), u_B(a₁, b_{m_B})
⋮	⋮	⋱	⋮
戦略a_{m_A}	u_A(a_{m_A}, b₁), u_B(a_{m_A}, b₁)	⋯	u_A(a_{m_A}, b_{m_B}), u_B(a_{m_A}, b_{m_B})

展開型ゲームとの関係編集