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正二十面体(せいにじゅうめんたい、regular icosahedron)は立体の名称の1つ。空間正三角形20枚で囲んだ凸多面体3次元空間で最大の面数を持つ正多面体である。

正二十面体
正二十面体
正二十面体
種別 正多面体デルタ多面体二十面体
面形状 20枚の正三角形
辺数 30
頂点数 12
頂点形状 35
Icosahedron vertfig.png
シュレーフリ記号 {3, 5}
ワイソフ記号 5 | 2 3
対称群 Ih
双対多面体 正十二面体
特性 凸集合
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目次

性質編集

 
正二十面体サイコロ

計量編集

面の面積  
表面積  
体積  
最長対角線の長さ  
外接球半径  
内接球半径  

対称性編集

 
完全正二十面体的対象性英語版は(この球面での青緑の大圏コースとして見る)π/5、π/3、π/2の角度で合する15の鏡映平面を有する。それは球面を120の基本領域英語版(黄)に分かつ。6つの5分割折畳軸(英:6 5-fold axes(以下同じ)、青)、10の3分割折畳軸(赤)、15の2分割折畳軸(赤紫)、が有る。正二十面体の頂点は5分割折畳軸上の点に存在する。

正二十面体の回転対称群英語版は5文字の交代群同型である。この非可換単純群は5文字の対称群の唯一の非自明な正規部分群である。一般の五次方程式ガロア群は5文字の対称群に同型であり、そしてこの正規部分群が単純で非可換なので、一般の五次方程式は根基での解を有しない。アーベル‐ルフィニの定理の証明はこの単純な事実を用いる。そしてフェリックス・クラインは一般の五次方程式の解析的解法を導く正二十面体的対称性英語版の理論を利用できる本を書いた。(Klein 1888)詳しい歴史ならびに関係する7文字と11文字の対称性については正二十面体的対称性#関連する幾何学的性質英語版を見よ。

(鏡映を含めた)正二十面体の完全な対称群は完全正二十面体群英語版として知られる。そしてこれは回転対称群と正二十面体の中心を通した鏡映によって生成される、サイズ2の群 の直積に同型である。

この図形をに持つ立体編集

派生的な立体編集

 
切頂二十面体
t{5, 3}
 
二十・十二面体
r{5, 3} = r{3, 5}
 
三方二十面体
 
正十二面体と正二十面体による複合多面体

近縁となるジョンソンの立体編集

脚注編集

参考文献編集

  • Felix, Klein (1884) (ドイツ語), Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade, Teubner, https://archive.org/details/vorlesungenber00kleiuoft 
    • Klein, Felix (2003-02-20) [1888] (英語), Lectrues on the ikosahedron and the solution of equations of the fifth degree (Dover Phoenix ed.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-49528-6, http://digital.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=03070001  - 英訳。
    • 『正20面体と5次方程式』 関口次郎訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、1997年4月21日、317頁。ISBN 978-4-431-70692-2 - 日本語訳。
    • 『正20面体と5次方程式』 関口次郎・前田博信訳、丸善出版、2012年8月25日、改訂新版、357頁。ISBN 978-4-621-06364-4 - 日本語訳の改訂新版。数学者スロードウィーによる解説・注釈を収録。

関連項目編集

外部リンク編集