「部分分数分解」の版間の差分

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有理式からその部分分数分解を得ることを 「部分分数に分解する」 と言いまわすことがあるが、部分分数という実体があるわけではないことに注意。
 
; 例:
: <math>\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}.</math>
 
有理式の和分や積分においては、部分分数に分解することで計算が楽になることがある。
 
== 原理 ==
以下、多項式 <math>''h''(''x'')</math> に対し、<math>\deg ''h</math>''<math>''h''(''x'')</math> の次数を表すことにする。ただし、<math>''h''(''x'')</math> が多項式として <math>0</math> (つまり恒等的に <math>''h''(''x'') = 0</math> )であるなら <math>\deg ''h'' = -\infty</math>&infin; とする。
 
=== 除法の原理 ===
有理式 <math>''f''(''x'')/''g''(''x'')</math> に対し、<math>\deg ''f'' \&ge; \deg ''g</math>'' ならば、一変数多項式[[環論|環]]の[[除法|除法の原理]]より、
: <math>''f''(''x'') = ''Q''(''x'') ''g''(''x'') + ''R''(''x''), \deg ''R'' <&lt; \deg ''g</math>''
となる多項式 <math>''Q''(''x''), ''R''(''x'')</math> が存在するから、
: <math>\frac{f(x)}{g(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{g(x)}</math>
と分解することができる。
 
=== 互除法 ===
また、一変数多項式環は単項イデアル整域だから、多項式 <math>''p''(''x'')</math><math>''q''(''x'')</math> が互いに素(つまり共通因数を含まない)ならば <math>''a''(''x'')''p''(''x'') + ''b''(''x'')''q''(''x'') = 1</math> を満たす多項式 <math>''a''(''x''), ''b''(''x'')</math> が存在する。したがって、<math>''g''(''x'') = g_1(x) g_2''g''<sub>1</sub>(''x'')''g''<sub>2</mathsub>(''x'') で、''g''<mathsub>1</sub>g_1(''x''), g_2(x)''g''<sub>2</mathsub>(''x'') が互いに素ならば
: <math>\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\psi_1(x)}{g_1(x)} + \frac{\psi_2(x)}{g_2(x)}</math>
と分解される。
 
=== 分母が冪の場合 ===
また、<math>''g''(''x'')</math> がある多項式の冪になっているとき、それを <math>''g''(''x'') = (g_0''g''<sub>0</sub>(''x''))^<sup>''m''</mathsup> と書けば、除法の原理より
: <math>''f''(''x'') = Q_1''Q''<sub>1</sub>(''x'')(g_0''g''<sub>0</sub>(''x''))^{<sup>''m''-1}</sup> + R_1''R''<sub>1</sub>(''x''), \deg R_b ''R''<sub>1</sub> &lt; (''m'' - 1) \deg g_0''g''<sub>0</mathsub>
となる多項式 ''Q''<mathsub>1</sub>Q_1(''x''), R_1(x)''R''<sub>1</mathsub>(''x'') がとれる。この ''R''<mathsub>R_1(x)1</mathsub>(''x'') をさらに (''g''<mathsub>0</sub>(g_0(''x''))^{<sup>''m''-2}</mathsup> で割り算すれば
: ''R''<mathsub>1</sub>R_1(''x'') = Q_2''Q''<sub>2</sub>(''x'')(g_0''g''<sub>0</sub>(''x''))^{<sup>''m''-2}</sup> + R_2''R''<sub>2</sub>(''x''), \deg R_2 ''R''<sub>2</sub> &lt; (''m'' - 2) \deg g_0''g''<sub>0</mathsub>
となり、以下帰納的に
: ''R''<mathsub>R_{''i''-1}</sub>(''x'') = Q_i''Q''<sub>''i''</sub>(''x'')(g_0''g''<sub>0</sub>(''x''))^{<sup>''m''-''i}''</sup> + R_i''R''<sub>''i''</sub>(''x''), \deg R_i ''R''<sub>''i''</sub> &lt; (''m'' - ''i'') \deg g_0''g''<sub>0</mathsub>
となるものがとれるから、
: <math>\frac{f(x)}{g(x)} = \sum_{i=1}^{m-1} \frac{Q_i(x)}{(g_0(x))^{i}} + \frac{R_{m-1}(x)}{(g_0(x))^m}</math>
が成り立つ。特に、deg ''Q''<mathsub>''i''</sub>\deg Q_i \&le; \deg R_{''R''<sub>''i''-1}</sub> - (''m'' - ''i'') \deg g_0''g''<sub>0</sub> \&le; deg g_0''g''<sub>0</mathsub> となる。
 
== 複素数係数有理式の分解 ==
有理式の部分分数分解と同様のことは[[有理型関数]]([[整関数]]の商で表される関数)にも拡張される。一般に有理型関数の極は有限個とは限らないから、この分解は[[無限和]]すなわち、級数への展開となるので、これを'''部分分数への展開'''あるいは'''部分分数展開''' (''partial fraction expansion'') と呼ぶことが多い。
 
例えば、<math>1/\sin^<sup>2 z</mathsup> ''z'' は、 <math>\sin ''z</math>'' が整関数であるから、有理型関数である。これは
: <math>\frac{1}{\sin^2 z} = \frac{1}{z^2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(z - n\pi)^2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(z + n\pi)^2}</math>
という部分分数に展開される。
 
== 関連項目 ==
* [[分数]]
* [[総和]]
* [[不定積分]]
* [[和分]]
{{math-stub}}
 
[[Category:代数学|ふふんふんすうふんかい]]
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