「ネイピア数」の版間の差分

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* <math>e = \lim_{n \rightarrow \infty}\left( 1 + {1 \over n }\right)^n</math>
: 右辺は、ヤコブ・ベルヌーイによって[[利子#自然対数と利子|複利計算]]との関連で言及されたものである。オイラーは、導関数がもとの関数と等しい[[指数関数]]の底が、下の等式を変形することにより、上の等式の右辺によって求まることを示した。
: <math>\lim_{dxh \to 0} \frac{e^{dxh} - 1}{dx \over h} = 1</math>
 
: 本来 ''n'' は自然数として定義されるが、 ''n'' を実数としてとった極限も同じであり、適当に変数変換を行ったものを定義とすることもある。
: <math>\frac{d}{dx}e^x=e^x</math>
: <math>\int e^x\,dx=e^x + C</math> (''C'' は積分定数)
となる。また、''e'' を底にとった[[対数関数]] log<sub>e</sub>''x'' (しばしば log ''x'' や ln ''x'' とも表す)の導関数は
: <math>\frac{d}{dx}\log x=\frac{1}{x}</math>
となる。従ってまた
''e'' の複素[[冪乗|冪]]は指数関数の[[解析接続]]によるものであるが、特に純虚数を指数とする冪は[[オイラーの公式]]として知られる関係式
: <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x</math>
を満たす。とく殊更に ''x'' = &pi; (&pi; は[[円周率]])を代入して得られる[[オイラーの公式|オイラーの等式]]
: <math>e^{i\pi} + 1 = 0 </math>
はネイピアの数を含む基本的な数学定数の間の、直観的にはまったく明らかではない関係を記述するものであり、[[リチャード・P・ファインマン|ファインマン]]はこれをオイラーの宝石と評した。
 
[[連分数展開]]
: <math>e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, ...].</math>
 
== 関連項目 ==
* [[指数関数]]
 
{{math-stub|ねいひあすう}}
 
[[Category:数学定数|ねいひあすう]]
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