「ネイピア数」の版間の差分

* <math>e = \lim_{n \rightarrow \infty}\left( 1 + {1 \over n }\right)^n</math>

: 右辺は、ヤコブ・ベルヌーイによって[[利子#自然対数と利子|複利計算]]との関連で言及されたものである。オイラーは、導関数がもとの関数と等しい[[指数関数]]の底が、下の等式を変形することにより、上の等式の右辺によって求まることを示した。

 

: 本来 ''n'' は自然数として定義されるが、 ''n'' を実数としてとった極限も同じであり、適当に変数変換を行ったものを定義とすることもある。

: <math>\frac{d}{dx}e^x=e^x</math>

: <math>\int e^x\,dx=e^x + C</math> （''C'' は積分定数）

: <math>\frac{d}{dx}\log x=\frac{1}{x}</math>

となる。従ってまた

''e'' の複素[[冪乗|冪]]は指数関数の[[解析接続]]によるものであるが、特に純虚数を指数とする冪は[[オイラーの公式]]として知られる関係式

: <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x</math>

: <math>e^{i\pi} + 1 = 0 </math>

はネイピアの数を含む基本的な数学定数の間の、直観的にはまったく明らかではない関係を記述するものであり、[[リチャード・P・ファインマン|ファインマン]]はこれをオイラーの宝石と評した。

 

 

== 関連項目 ==

* [[指数関数]]

 

 

[[Category:数学定数|ねいひあすう]]