「上半平面」の版間の差分

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開いた上半平面と閉じた上半平面
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単位円盤との関係
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閉じた上半平面は[[閉集合]]であり、慣例的に<math>\mathbb{H}^*</math>で表される。
:<math>\mathbb{H}^*=\mathbb{H}\cup\mathbb{R}\cup\{\infty\}</math>
 
== 単位円盤との関係 ==
[[単位円盤]]とは複素平面の原点を中心にする単位円に含まれる複素数の集合をいう。
:<math>\mathbb{D}=\{x+iy|(x,y)\in\mathbb{R}^2,x^2+y^2<1\}</math>
上半平面を[[単位円盤]]に写す[[正則]]な[[全単射]]が存在する。従って、上半平面と単位円盤は[[リーマン面]]として同型である。
:<math>\forall{z}\in\mathbb{H},\exist{w}\in\mathbb{D},w=f(z)=\frac{z-i}{z+i}</math>
:<math>\forall{w}\in\mathbb{D},\exist{z}\in\mathbb{H},z=f^{-1}(w)=i\frac{1+w}{1-w}</math>