台形公式

数学において、台形公式もしくは台形則は定積分を計算するための方法である。

関数f(x) (青線)を線形関数で近似(赤線)。

合成台形公式の図(不等間隔の例).

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

台形公式は関数$f(x)$の面積を台形で近似して計算するもので、以下の式に従う。

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}$

この積分をより正確に計算する方法には、積分区間$[a,b]$をより小さいn個のサブ区間に分け、それぞれを台形で近似することである。これにより以下に示す合成台形公式を得る。:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{n}}\left({f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)\right)$

これは以下のようにも書ける：

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2n}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+\cdots +2f(x_{n-1})+f(x_{n})\right)$

但し

$x_{k}=a+k{\frac {b-a}{n}},$ for $k=0,1,\dots ,n$である。(分割間隔は均等でない場合もある)

台形公式はニュートン・コーツの公式と呼ばれる数値積分の公式のひとつである。 同じニュートン・コーツの公式にあるシンプソンの公式はより精度が高い。シンプソンの公式やその他の類似の手法は、２階連続微分可能な関数に対する台形公式の改良とみなせるが、荒い関数に対しては台形公式のほうが望ましい。さらに、台形公式は周期関数をその周期よりも長い区間積分する場合にはきわめて精度が高くなる傾向がある。これはオイラーの和公式との関係をみると良く理解できる。しかしながら非周期関数に対しては一般に、 Gaussの求積法やクレーンショー・カーチス数値積分則のような非等分点法の方がより精度が高い。

台形公式の利点は、近似誤差が容易に分かることである。凸関数に対してこの公式で積分を求めると、結果は実際の値よりも台形と実際の関数曲線の差分の分だけ多くなる。凹関数に対してこの公式で積分を求めると、結果は実際の値よりも台形と実際の関数曲線の差分の分だけ多くなる。また積分区間が変曲点を含むとき誤差は小さくなる。

関連項目

• 数値解析

参考文献

• Burden, Richard L.; J. Douglas Faires (2000). Numerical Analysis (7th Ed. ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-38216-9 
• Trapezoidal Rule of Integration - Notes, PPT, Mathcad, Maple, Mathematica, Matlab at Holistic Numerical Methods Institute

外部リンク

• Trapezoidal Rule for Numerical Integration （英語）