「準同型」の版間の差分

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代数系 (''A'', ''R'') に対し、始域と終域が同じ ''A'' である準同型写像 ''f'': ''A'' &rarr; ''A'' は ''A'' 上の'''自己準同型'''(じこじゅんどうけい、{{lang|en|endomorphism}})であると言い、さらに ''f'' が同型写像であるときには ''A'' 上の'''自己同型'''(じこどうけい、{{lang|en|automorphism}})と呼ばれる。 ''A'' 上の自己同型の全体 Aut(''A'') は写像の合成を二項演算と考えれば、恒等写像 id<sub>''A''</sub> を単位元とし、逆写像を逆元とする群を成す。これを ''A'' 上の'''自己同型群'''と呼ぶ。
 
また、''G'' が群であるとき、''G'' 上の自己準同型 ''f'', ''g'' に対し、''f''(''x'')''g''(''y'') = ''g''(''y'')''f''(''x'') がどんな ''x'', ''y'' &isin; ''G'' に対しても成り立つなら ''f'' と ''g'' は'''加法可能'''であると言い、(''f'' + ''g'')(''x'') := ''f''(''x'')''g''(''x'') (''x'' &isin; ''G'') と置く。特に、''G'' が[[アーベル群]]なら ''G'' 上の自己準同型の全体 End(''G'') で加法が定義され、さらに写像の合成を積として End(''G'') は環となる。これを ''G'' 上の'''自己準同型環'''という。
 
== 例 ==
=== 線型写像 ===
:{{main|線型写像|作用 (数学)}}
[[体 (数学)|体]] ''K'' 上のベクトル空間 ''V'' とは、加法と呼ばれる二項演算 + とスカラー倍と呼ばれる単項演算族 {&alpha;<sub>k</sub>: ''V'' &rarr; ''V''}<sub>''k''&isin;''K''</sub> (&alpha;<sub>''k''</sub>(''v'') := ''kv'' for ''k'' &isin; ''V'') を演算として持つ代数系 (''V'', +, 0, &minus;&middot;, {&alpha;<sub>''k''</sub>}<sub>''k''&isin;''K''</sub>) である(ここで、0 は加法に関する単位元([[零元]])であり, &minus;&middot; は加法に関する逆元(マイナス元)を与える単項演算であるが、加法に関して ''V'' は群となるのでこれを略して (''V'', +, {&alpha;<sub>k</sub>}<sub>''k''&isin;''K''</sub>) と考えてもよい)。また、スカラー倍の全体からなる単項演算族は体 ''K'' から ''V'' の加法群としての[[アーベル群#アーベル群の準同型|自己準同型環]] End(''V'') への単位的環としての準同型像として得られるものである。
 
二つのベクトル空間 (''V'', +, {&alpha;<sub>k</sub>}<sub>''k''&isin;''K''</sub>), (''W'', +&prime;, {&beta;<sub>''k''</sub>}<sub>''k''&isin;''K''</sub>) (&beta;<sub>k</sub>: ''W'' &rarr; ''W''; &beta;<sub>''k''</sub>(''w'') := ''kw'' for ''k'' &isin; ''W'') の間の準同型 ''f'': ''V'' &rarr; ''W'' は
*<math>f(v_1 + v_2) = f(v_1) +' f(v_2) \quad (v_1,\,v_2 \in V),</math>
*<math>f(kv) = f(\alpha_k(v)) = \beta_k(f(v)) = kf(v)\quad (v \in V)</math>
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