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[[数学]]において、'''斜交ベクトル空間'''〔symplectic（しゃこうべくとるくうかん、英：symplectic vector space〕space）（'''シンプレクティックベクトル空間'''ともいう）とは、'''斜交形式'''〔symplectic（しゃこうけいしき、英：symplectic form〕form）（'''シンプレクティック形式'''ともいう）と呼ばれる非退化反対称双線形形式 ω を備えた[[ベクトル空間]] ''V'' のことである。
斜交形式の定義を明示的に書くと、以下を満たす双線形形式 ω : ''V'' × ''V'' → '''R''' である。
以下で、4 つに分類する。
* ''W''<sup>⊥</sup> ∩ ''W'' = {0} のとき、''W'' は'''斜交的'''〔symplectic〕（英：symplectic）であるという。これは、ω の ''W'' への制限が非退化形式であるとき、かつそのときに限り成り立つ。この制限された形式を有する斜交部分空間は、それ自体が斜交ベクトル空間となる。
* ''W'' ⊆ ''W''<sup>⊥</sup> のとき、''W'' は'''等方的'''〔isotropic〕（英：isotropic）であるという。これは、ω の ''W'' への制限が 0 あるとき、かつそのときに限り成り立つ。任意の一次元部分空間は、等方的である。
* ''W''<sup>⊥</sup> ⊆ ''W'' のとき、''W'' は'''余等方的'''〔coisotropic〕（英：coisotropic）であるという。これは、ω が商空間 ''W''/''W''<sup>⊥</sup> の非退化形式に移るときとき、かつそのときに限り成り立つ。同様に、''W''<sup>⊥</sup> が等方的、かつそのときに限り、''W'' は余等方的である。余次元が 1 の任意の部分空間は、余等方的である。
* ''W'' = ''W''<sup>⊥</sup> のとき、''W'' は'''ラグランジュ的'''〔Lagrangian〕（英：Lagrangian）であるという。部分空間は、等方的かつ余等法的であるとき、かつそのときに限り成りラグランジュ的である。有限次元ベクトル空間において、ラグランジュ的部分空間は、''V'' の次元の半分の次元を持つ等方部分空間である。任意の等方部分空間は、ラグランジュ的部分空間に拡張できる。
上記の標準的ベクトル空間 '''R'''<sup>2''n''</sup> に照らすと、
* [[シンプレクティック多様体]] は、各接空間で滑らかに変化する閉斜交形式を有する滑らかな多様体である。
* 斜交表現は、群の各要素が斜交変換として作用する群の表現である。
== 出典 ==
この記事は、英語版の記事 [[:en:Symplectic vector space]] の翻訳である。
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