「角運動量保存の法則」の版間の差分

 
== 角運動量保存の法則の証明 ==
角運動量 <math>\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}</math> の時間変化([[時間微分]])は以下の式のようになる。
 
:<math>\frac{d \vec{L}}{dt} = \frac{d \vec{r}}{dt} \times \vec{p}+ \vec{r} \times \frac{d \vec{p}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F}</math> (1)
 
ここで、<math>\vec{r} \times \vec{F}</math> は[[外力質点]]による[[力のモーメント]]、<math>\vec{r}</math> は質点の位置ベクトル]]、<math>\vec{p}</math>は[[運動量]]、<math>\vec{F}t</math>は[[時間]]である。また、上(1)真ん中の式右辺の第一項は、
 
:<math> \frac{d \vec{r} /}{dt} \times \vec{p} = \vec{v} \times m \vec{v} = m \vec{v} \times \vec{v} = 0 </math> (2)
のように速度同士の外積となるため、ゼロとなる。すなわち、以下のことが分かる。
 
すなわち、[[速度]] <math>\vec{v}</math> どうしの[[外積]]なので0となる。よって、式(1)は次のようになる。
 
:<math>\frac{d \vec{L}}{dt} = \vec{r} \times \frac{d \vec{p}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F}</math> (3)
 
ここで、<math>\vec{r} \times \vec{F}</math> は、[[外力]] <math>\vec{F}</math> による[[力のモーメント]]である。したがって、'''角運動量の時間変化は外力によるモーメントに等しい'''。これにより、以下のことが分かる。
 
*もし外力がなければ、すなわち <math>\vec{F} = 0</math> ならば、当然 <math>\vec{r} \times \vec{F} = 0</math> であり、角運動量は保存される。
*外力が[[中心力]]のときは、力の向きが <math>\vec{r}</math> と平行になり、すなわち<math>\vec{r} \times \vec{F} = 0</math> となって、角運動量は <math>\vec{L} = \mbox{const.}</math>(一定)となり、保存される。
 
よって、質点に外力がまったく働かないか、あるいは外力が中心力であるならば、その質点の角運動量は保存される(証明終わり)。
 
[[ケプラーの法則]]の第二法則「面積速度一定の法則」は、「角運動量保存の法則」に他ならない。なぜなら、面積速度は
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