|
'''カプレカ数'''（カプレカすう、Kaprekar Number）とは、次のいずれかで定義される[[整数]]である。
# [[整数]]を2乗し 、て前の部分と後ろの部分に分けて和を取ったとき、元の値に等しくなる 数もの ことである。▼#桁を並べ替えて最大にしたものから最小にしたものの差を取ったとき、元の値に等しくなるもの
▲#[[整数]]を2乗し、前の部分と後ろの部分に分けて和を取ったとき、元の値に等しくなる数のことである。
整数を2乗し、それが偶数桁 2''n'' 桁である場合は先頭 ''n'' 桁と末尾 ''n'' 桁に分け、奇数桁 2''n'' + 1 桁である場合は先頭 ''n'' 桁と末尾 ''n'' + 1 桁に分けて和を取る。この操作によって元の値に等しくなる数をカプレカ数と呼ぶ。
#すべての桁が同じ値ではない（いくつかの桁は同じ値でもよい）整数を、桁を並べ替えて最大にしたものから最小にしたものの差を取り、この操作を繰り返したときにある一定の値になる[[数]]のことである。 ▼
たと例えば 、[[297]]は、297<sup>2</sup> = 88209 であるが、これを前の ２2桁 88 と後ろの ３3桁 209 に分けて足すと、88 + 209 = 297 となるので、 [[297]] はカプレカ数である。 ▼整数を2乗し、前のn桁と後ろのn桁または(n+1)桁に分けて和を取ったとき、元の値に等しくなる数のことである。
この定義でのカプレカ数は、小さな順に
▲たとえば、[[297]]は、297<sup>2</sup> = 88209であるが、これを前の２桁88と後ろの３桁209に分けて足すと、88 + 209 = 297 となるので、カプレカ数である。
:[[1]]、[[9]]、[[45]]、[[55]]、[[99]]、297、[[703]]、[[999]]、[[2223]]、[[2728]]、[[4879]]、[[4950]]、[[5050]]、[[5292]]、…（{{OEIS|id=A006886}}）
である。
この定義でのカプレカ数は、小さなほうから [[1]]、[[9]]、[[45]]、[[55]]、[[99]]、[[297]]、[[703]]、[[999]]、[[2223]]、[[2728]]、[[4879]]、[[4950]]、[[5050]]、[[5292]]、7272、7777、9999、17344、22222、38962、77778、82656、95121、99999、142857、148149、181819、187110、208495、318682、351352、356643、390313、461539、466830、499500、500500、533170 ……となる。
▲#すべての桁が同じ値ではない（いくつかの桁は同じ値でもよい）整数 を、の桁を並べ替えて 、最大にしたものから最小にしたものの差を取 り、る。この操作 を繰り返したときに ある一定よって元の値に 等しくなる [[数 ]]のこをカプレカ数と である呼ぶ。
例えば、7641 - 1467 = 6174 であるから、[[6174]] はこの意味でのカプレカ数であり、4桁では唯一のものである。この定義でのカプレカ数は、小さな順に
:[[0]], [[495]], 6174, 549945, 631764, 63317664, 97508421, 554999445, 864197532, 6333176664 … ({{OEIS2C|id=A099009}})
すべての桁が同じ値ではない（いくつかの桁は同じ値でもよい）整数を、桁を並べ替えて最大にしたものから最小にしたものの差を取り、この操作を繰り返したときにある一定の値になる数のことである。
である。なお、容易に分かるように、この定義でのカプレカ数は全て[[9]]の[[倍数]]である。
この定義において、4桁のカプレカ数は[[6174]]である。最初の数として 2005 を取ったり、上記の操作を繰り返すとき、
*:5200 - 0025 = 5175
*:7551 - 1557 = 5994
*:9954 - 4599 = 5355
*:5553 - 3555 = 1998
*:9981 - 1899 = 8082
*:8820 - 0288 = 8532
*:8532 - 2358 = 6174
*:7641 - 1467 = 6174
となり、後は 6174に収束す が繰り返される。どのような4桁の数でも最終的に 0 または 6174 になることが確認さかめられている。カプレカ自身は4桁の数のみ考察したが、任意の桁で同じことが考えられる。ある与えられた桁数の整数は有限個であるから、この操作の繰り返しにより、必ずループが現れる。その周期が 1 である場合にそれをカプレカ数と呼ぶのである。
同様に3桁で最初に
685を使った場合、 893を使った場合、
*865 - 568 = 297 983 - 389 = 594
*972 - 279 = 693 954 - 459 = 495
*963 - 369 = 594 954 - 459 = 495
*954 - 459 = 495
*954 - 459 = 495
となり、[[495]]である。
* [http://mathworld.wolfram.com/KaprekarNumber.html {{MathWorld -- |title=Kaprekar Number ]|urlname=KaprekarNumber}} - 第1の定義によるカプレカ数 ▼ちなみにこの定義でのカプレカ数は全て[[9]]の[[倍数]]である。（証明は容易【ヒント:[[合同式|mod]]9で考えること】）
*{{MathWorld|title=Kaprekar Routine|urlname=KaprekarRoutine}} - 第2の定義によるカプレカ数
[[Category{{DEFAULTSORT: 整数の類|かふれかすう ]]}}▼[[Category:整数の類]]
▲*[http://mathworld.wolfram.com/KaprekarNumber.html MathWorld -- Kaprekar Number] 第1の定義によるカプレカ数
[[Category:数学に関する記事 |かふれかすう]] ▼*[http://homepage1.nifty.com/Hagure/kapu.html カプレカ数] 第2の定義によるカプレカ数
▲[[Category:整数の類|かふれかすう]]
▲[[Category:数学に関する記事|かふれかすう]]
[[cs:Kaprekarova konstanta]]
| 