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'''ルース=アーロン・ペア''' (Ruth=Aaron pair) とは、2 つの連続した[[自然数]]のそれぞれの[[素因子]]の[[総和]]が、互いに等しくなる組のことである。非常に少なく、20000 以下では 26 組しか存在しない。
==名前の由来==
[[アメリカ合衆国|アメリカ]]の元プロ[[野球選手]]である[[ベーブ・ルース]]の[[1935年]]に達成した通算[[本塁打]]記録714本(当時歴代1位)を、[[アメリカ合衆国|同国]]の元プロ野球選手の[[ハンク・アーロン]]が[[1974年]]に通算715本目の本塁打を放ち、その記録を破った。この時の記録(714, 715)が上記の性質になる事からこの名がついた。
==計算==
(714, 715)で調べてみよう。
*714=2×3×7×17
*715=5×11×13
**2+3+7+17=5+11+13=29
となり、(714, 715)の組はルース=アーロン・ペアということになる。また、条件とはなっていないが、
*714×715=17#=2×3×5×7×11×13×17=510510となる(p#は2からpまでの[[素数]]の[[総乗]]で、ユークリッド数、[[素数階乗]]と呼ばれる)。
このような性質も合わせ持つルース=アーロン・ペアはさらに少なく、20000以下ではわずか2組である{(5, 6)と(714, 715)の2組}。
 
==始め 名前26組由来 ==
[[アメリカ合衆国|アメリカ]]の元プロ[[野球選手]]である[[ベーブ・ルース]]の[[1935年]]に達成した通算[[本塁打]]記録 714 本(当時歴代 1 位)を、[[アメリカ合衆国|同国]]の元プロ野球選手の[[ハンク・アーロン]]が[[1974年]]に通算 715 本目の本塁打を放ち、その記録を破った。この時の記録 (714, 715) が上記の性質になる事からこの名がついた。
([[5]], [[6]])、([[8]], [[9]])、([[15]], [[16]])、([[77]], [[78]])、([[125]], [[126]])、([[714]], [[715]])、(948, 949)、(1330, 1331)、(1520, 1521)、(1862, 1863)、(2491, 2492)、(3248, 3249)、(4185, 4186)、(4191, 4192)、(5405, 5406)、(5560, 5561)、(5959, 5960)、(6867, 6868)、(8280, 8281)、(8463, 8464)、(10647, 10648)、(12351, 12352)、(14587, 14588)、(16932, 16933)、(17080, 17081)、(18490, 18491)
 
== 計算 ==
[[素因数分解]]したとき 8=2<sup>3</sup> など指数部が現れる数の場合「素因子の総和」は 2+2+2 というように計算する。
(714, 715) で調べてみよう。
*714 = 2 × 3 × 7 × 17
*715 = 5 × 11 × 13
**2 + 3 + 7 + 17 = 5 + 11 + 13 = 29
となり、(714, 715) の組はルース=アーロン・ペアということになる。また、条件とはなっていないが、
*714×715714 × 715 = 17# =2×3×5×7×11×13×17 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 = 510510 となる (''p''# 2 から ''p'' までの[[素数]]の[[総乗]]で、ユークリッド数、[[素数階乗]]と呼ばれる)。
このような性質も合わせ持つルース=アーロン・ペアはさらに少なく、20000 以下ではわずか 2 組である{ ((5, 6) (714, 715) 2 })
 
== 例 ==
==ルース=アーロン・トリプレット==
([[5]], [[6]]), ([[8]], [[9]]), ([[15]], [[16]]), ([[77]], [[78]]), ([[125]], [[126]]), ([[714]], [[715]]), (948, 949), (1330, 1331), (1520, 1521), (1862, 1863), (2491, 2492), (3248, 3249), (4185, 4186), (4191, 4192), (5405, 5406), (5560, 5561), (5959, 5960), (6867, 6868), (8280, 8281), (8463, 8464), (10647, 10648), (12351, 12352), (14587, 14588), (16932, 16933), (17080, 17081), (18490, 18491), ...
ルース=アーロン・ペアと同様にルース=アーロン・トリプレットも定義される。そのうち最小のものは(417162,417163,417164)であり、
 
*417162=2×3×251×277
ただし、[[素因数分解]]したとき 8 = 2<sup>3</sup> など指数部が現れる数の場合「素因子の総和」は 2 + 2 + 2 というように計算する。
*417163=17×53×463
 
*417164=2×2×11×19×499
== ルース=アーロン・トリプレット ==
**2+3+251+277=17+53+463=2+2+11+19+499=533 で素因子の和は全て等しい。
ルース=アーロン・ペアと同様にルース=アーロン・トリプレットも定義される。そのうち最小のものは (417162, 417163, 417164) であり、
*417162 = 2 × 3 × 251 × 277
*417163 = 17 × 53 × 463
*417164 = 2 × 2 × 11 × 19 × 499
**2 + 3 + 251 + 277 = 17 + 53 + 463 = 2 + 2 + 11 + 19 + 499 = 533 で素因子の和は全て等しい。
== 未解決問題 ==
ルース=アーロン・ペア及びルース=アーロン・トリプレットが無限に存在するかどうかは分かっていない。発見者の知人は、無限に存在すると予想している。''x'' 以下のルース=アーロン・ペアの個数は ''O''( ''x'' (logloglog log ''x'')<sup>4</sup>/(log ''x'')<sup>2</sup>) であることが知られている。特に、ルース=アーロン・ペアが無限に多く存在するとしても、その逆数の和は収束することが[[カール・ポメランス]]により証明されている。
 
Carl Pomerance, [http://www.math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/paper130.pdf Ruth-Aaron numbers revisited], Paul Erdös and his Mathematics, (Budapest, 1999), Bolyai Soc. Math. Stud. 11, János Bolyai Math. Soc., Budapest, 2002, pp. 567--579.