「ランダムウォーク」の版間の差分

[[ブラウン運動]]と共に、[[統計力学]]、[[量子力学]]、[[数理ファイナンス]]等の具体的モデル化に盛んに応用される。

 

''X''_''n'' (''n'' = 1, 2, ...) を[[独立]]かつ同[[分布]]な ''R''^''d'' 値[[確率変数]]族とする。この時、

:<math>S_n = X_1 + \cdots + X_n</math>

を（''d'' 次元）ランダムウォーク {{lang|en|(''d'' dimensional random walk, RW)}} という。

 

特に、''X''_''n'' が ''Z''^''d'' 値であり、かつ、

:<math>P( X_n = \mathbf{e}_j ) = P( X_n = -\mathbf{e}_j ) =\frac{1}{2d} </math>

（<math>\mathbf{e}_j</math> は、第 ''j'' 成分が 1 の[[単位ベクトル]]）である時、''S''_''n'' を（''d'' 次元）単純ランダムウォーク {{lang|en|(''d'' dimensional simple random walk)}} という。

 

[[コイントス]]において、コインを投げて「裏と表が出る確率」は、共に二分の一である。

 

<!--しかし、コインを一度投げて表が出た場合、通常ならば次に表と裏が出る確率は共に二分の一であるはずだが、実際には裏が出る確率よりも表である確率の方が高い。←ランダムウォークとは異なる-->

 

# 再帰性<div>1 または 2 次元の単純ランダムウォークは再帰的であり、3 次元以上のランダムウォークは過渡的である。</div>

# Donsker の定理の系<div>''X''_''n'' (''n'' = 0, 1, ...) を平均 0 かつ分散 1 の独立かつ同分布な 1 次元ランダムウォークとし、<div style="text-indent:1em"><math>S_t = S_n \mbox{ if } t = n , \mbox{ linear } \mbox{ if } n < t < n + 1 </math></div>で定義すると、各 ''t'' ≧ 0 に対して次が成立する。<div style="text-indent:1em"><math>P ( | \frac{S_{nt}}{\sqrt{n}} - B_t | < \varepsilon ) \rightarrow 0 \mbox{ for all } \varepsilon > 0 </math></div></div>

 

;レビのダスト

:宇宙空間の星の分布のモデルとして考えられた点の分布。点の進む方向をランダム、進行距離の分布が[[冪級数]]で与えられるようなランダムウォーク。

 

;自己回避ランダムウォーク

:軌跡が交差しないランダムウォーク。理論的な解析は困難。[[高分子]]の幾何学的構造、海岸線などのモデルとして利用されている。

 

*[[カオス理論]]

*[[ランダム・ウォーク理論]]

*[[ブラウン運動]]

 

[[Category:確率論]]

[[Category:確率過程]]