「順序数」の版間の差分

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とは次のようにして作った順序集合 ('''A''', &le;<sub>'''A'''</sub>) の順序数のことである。
 
(''A''<sub>&lambda;</sub>)<sub>&lambda;&isin;&Lambda;</sub> を各 &lambda; に対し、&mu;<sub>&lambda;</sub> = ord(''A''<sub>&lambda;</sub>) かつその最小元が ''m''<sub>&lambda;</sub> であるような順序集合 (''A''<sub>&lambda;</sub>, &le;<sub>&lambda;</sub>) の族とする。直積集合 '''<bigspan style="font-size:120%;">&prod;</bigspan>'''<sub>&lambda;&isin;&Lambda;</sub> ''A''<sub>&lambda;</sub> の部分集合 '''A''' を
:<math>\mathbf{A} = \{(a_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} \mid a_\lambda = m_\lambda\,\textrm{except\ for\ some\ } \lambda \}</math>
とおく。'''A''' における順序 &le;<sub>'''A'''</sub> は '''a''' = (''a''<sub>&lambda;</sub>)<sub>&lambda;&isin;&Lambda;</sub>, '''b''' = (''b''<sub>&lambda;</sub>)<sub>&lambda;&isin;&Lambda;</sub> &isin; '''A''' に対して、
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として定める。
 
添え字集合が ({1,2}, &le;<sub>'''N'''</sub>) のとき &mu;<sub>1</sub>, &mu;<sub>2</sub> の整列積 '''<bigspan style="font-size:120%;">&prod;</bigspan>'''<sub>&lambda;=1,2</sub> &mu;<sub>&lambda;</sub> は既に定義した積 &mu;<sub>1</sub>&mu;<sub>2</sub> と一致する。
 
===冪===
順序数 &mu;, &nu; に対し、&mu; の &nu; = ord(&Lambda;) なる順序集合 &Lambda; に関する整列積を
:&mu;<sup>&nu;</sup> = '''<Bigspan style="font-size:120%;">&prod;</Bigspan>'''<sub>&lambda;&isin;&Lambda;</sub> &mu;
と書いて、順序数の冪という。要するに冪 &mu;<sup>&nu;</sup> とは "&mu; の &nu; 個の積" のことである。
順序数の冪について次の指数法則が成り立つ。