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[[数学]]において'''ソボレフ空間'''（ソボレフくうかん、{{lang-en|''Sobolev space''}}）は、函数からなる[[ベクトル空間]]で、函数それ自身とその与えられた階数までの導函数の[[Lpノルム|''L<sup>p</sup>''-ノルム]]を組み合わせて得られるノルムを備えたものである。ここでいう微分を適当な[[弱微分|弱い意味での微分]]と解釈することにより、ソボレフ空間は[[完備距離空間]]、したがって[[バナッハ空間]]を成す。直観的には、ソボレフ空間は（偏微分方程式のような応用範囲に対して）十分多くの導函数を持つ函数からなる[[バナッハ空間]]あるいは[[ヒルベルト空間]]であって、函数の大きさと滑らかさの両方を測るようなノルムを備えたものということである。
In [[mathematics]], a '''Sobolev space''' is a [[vector space]] of functions equipped with a [[normed space|norm]] that is a combination of [[Lp norm|''L<sup>p</sup>'' norms]] of the function itself as well as its derivatives up to a given order. The derivatives are understood in a suitable [[weak derivative|weak sense]] to make the space [[Complete metric space|complete]], thus a [[Banach space]]. Intuitively, a Sobolev space is a [[Banach space]] or [[Hilbert space]] of functions with sufficiently many derivatives for some application domain, such as partial differential equations, and equipped with a norm that measures both the size and smoothness of a function.
ソボレフ空間の名称は[[ロシア人]][[数学者]]の[[セルゲイ・ソボレフ]]に因む。ソボレフ空間の重要性は、[[偏微分方程式]]の解というものは古典的な意味での導函数を備える[[連続函数]]からなる古典的な空間の中ではなく、むしろソボレフ空間の中にあるとして捉えたほうが自然であるという事実にある。
Sobolev spaces are named after the [[Russia|Russian]] [[mathematician]] [[Sergei Lvovich Sobolev|Sergei L. Sobolev]]. Their importance lies in the fact that solutions of [[partial differential equations]] are naturally in Sobolev spaces rather than in the classical spaces of [[continuous function]]s and with the [[derivative]]s understood in the classical sense.
== Introduction導入 ==
[[函数]]の滑らかさの基準にはいくつかの種類があり、最も基本的な基準はその[[連続性]]である。より強い判定基準は[[可微分性]]であり（実際、可微分函数は常に連続となる）、さらに導函数の連続性をも込めれば（そのような函数は[[滑らかな函数| ''C''<sup>1</sup>-級]]であるといわれる）より強い滑らかさの概念が与えられる。 可微分函数は多くの分野、特に[[微分方程式]]の理論において重要である。しかしながら[[20世紀]]に入ると、そのような ''C''<sup>1</sup>-級（あるいは同様な''C''<sup>2</sup>, ... といった滑らかさのクラスに属する）函数の空間というものは、微分方程式の研究するための空間として本当に適切なものとは言えないということが理解されるようになる。
There are many criteria for smoothness of [[mathematical function]]s. The most basic criterion may be that of [[continuous function|continuity]]. A stronger notion of smoothness is that of [[differentiability]] (because functions that are differentiable are also continuous) and a yet stronger notion of smoothness is that the derivative also be continuous (these functions are said to be of class ''C''<sup>1</sup> — see [[smooth function]]). Differentiable functions are important in many areas, and in particular for [[differential equation]]s. In the twentieth century, however, it was observed that the space ''C''<sup>1</sup> (or ''C''<sup>2</sup>, etc.) was not exactly the right space to study solutions of differential equations.
ソボレフ空間はそのような偏微分方程式の解を求めるための空間の現代的な代替物である。
The Sobolev spaces are the modern replacement for these spaces in which to look for solutions of partial differential equations.
== Sobolev spaces on the unit circle ==
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