「エルミート行列」の版間の差分
削除された内容 追加された内容
m ロボットによる 変更: zh:埃尔米特矩阵 |
m編集の要約なし |
||
1行目:
[[数学]]において'''エルミート行列'''（エルミートぎょうれつ、<em lang="en">Hermitian matrix</em>）とは、エルミート内積に関して自己共
== 定義といくつかの性質 ==
その[[行列要素|成分]]が複素数である行列 ''A'' に対し、その[[随伴行列]]を ''A<sup>*</sup>'' で表すとき
:<math>A = A^*</math>
を満たす行列 ''A'' を'''エルミート行列'''と呼ぶ。定義から、''A'' は[[正方行列]]でなければならない。エルミート行列 ''A'' は複素ベクトル ''x'', ''y'' と[[内積|標準エルミート内積]] "(•, •)" に対し (''Ax'', ''y'') = (''x'', ''Ay'') を満たす。すなわち、エルミート行列はエルミート内積に関して'''自己共
複素行列 ''A'' = (''a''<sub>''ij''</sub>) がエルミートであることを成分を用いて表せば、
: <math>a_{ji} = \bar{a}_{ij}</math>
が任意の ''i'', ''j'' について成立することと言い換えられる（ここで、<span style="text-decoration:overline;">•</span> は • の複素共
: <math>\overline{x_{ji} + \bar{x}_{ij}} = \bar{x}_{ji} + x_{ij}</math>
であるから、和 ''X'' + ''X''<sup>*</sup> は常にエルミート行列になる。もっと一般に
15行目:
== エルミート形式・複素二次形式 ==
''n'' 次エルミート行列 ''A'' と ''n'' 次元複素ベクトル '''x''', '''y''' に対し、''f''('''x''', '''y''') = '''x'''<sup>*</sup>''A'''''y''' とおくことにより定まる2変数（成分で見れば複素 2''n'' 変数）の函数 ''f'': '''C'''<sup>''n''</sup> × '''C'''<sup>''n''</sup> → '''C''' を'''対称半双線型形式''' {{lang|en|(symmetric sesquilinear form)}} あるいは '''エルミート形式''' {{lang|en|(Hermitian form)}} という。半双線型とは、第一の変数 '''x''' に関して反線型で、第二の変数 '''y''' に関して線型となることをいう。また、ここでいう（共
: <math>f(\mathbf{y},\mathbf{x}) = \overline{f(\mathbf{x},\mathbf{y})}</math>
となることを意味する。[[数ベクトル空間]] '''C'''<sup>''n''</sup> の標準エルミート内積はエルミート形式である。
23行目:
が得られる。これをエルミート行列 ''A'' に対応（{{lang|en|associate}}; 付随）する（複素）'''二次形式'''あるいはエルミート（二次）形式といい、''A'' をこの複素二次形式の係数行列という。定義から ''A''{'''z'''} = '''z'''<sup>*</sup>''A'''''z''' であるが、標準エルミート内積 (•, •) を用いれば ''A''{'''z'''} = ('''z''', ''A'''''z''') = (''A'''''z''', '''z''') などと表せる。また、
: <math>a_{ji}\bar{z}_j z_i = \bar{a}_{ij}\;\bar{\!\bar{z}}_i \bar{z}_j = \overline{a_{ij}\bar{z}_i z_j}</math>
と書けることに注意して、複素共
:<math>A\{\mathbf{z}\} = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}|z_i|^2 + 2\sum_{1 \le i < j \le n} \mathfrak{Re}(a_{ij}\bar{z}_iz_j)
</math>
| |||