「共通部分 (数学)」の版間の差分
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[[数学]]において、集合族の'''積集合'''（せきしゅうごう）、'''共通部分'''（きょうつうぶぶん、<em lang=en>intersection</em>）あるいは[[二項演算|演算]]的に集合の'''積'''（せき）、'''交わり'''（まじわり、<em lang=en>meet</em>）とは、与えられた集合の集まり（族）全てに共通に含まれているような要素を全て集めることにより得られる集合のことである。
:[[直積集合]] (<span lang=en>Cartesian product</span>) は積集合とは別の概念。
== 定義 ==
[[image:Venn A intersect B.svg|thumb|right|共通部分のベン図による視覚化]]
集合 ''A'', ''B'' の共通部分は ''A'' ∩ ''B'' と記される。つまり
: ''x'' ∈ ''A'' ∩ ''B'' ⇔ ''x'' ∈ ''A'' かつ ''x'' ∈ ''B''
あるいは
:<math>A \cap B := \{x \mid x \in A \mbox{ and } x \in B\}</math>
が ''A'' と ''B'' の共通部分の定義である。共通部分に含まれるような元の存在しないとき、''A'' と ''B'' は'''互いに素'''であるまたは'''交わりを持たない''' (<span lang=en>disjoint</span>) という。また、集合の（[[空集合|空]]でない）族
:<math>\mathfrak{M} = \{ M_{\lambda} \}_{\lambda \in \Lambda}</math>
に対して、その共通部分を集合族に属する全ての集合に属する元、つまり
:<math>x \in M_\lambda \mbox{ for all } \lambda \in \Lambda</math>
となる ''x'' の全体であると定義して
:<math>\bigcap \mathfrak{M}, \quad \bigcap_{\lambda \in \Lambda} M_{\lambda}</math>
などで表す。添字集合 Λ が[[有限集合]]であるときは
:<math>M_1 \cap M_2 \cap \cdots \cap M_k</math>
などとも記す。与えられた集合族の共通部分が空集合となるとき、つまり全ての集合に共通に含まれる元が一つも存在しないとき、その集合族は'''交わりを持たない'''という。
== 例 ==
''P'' = {1, 3, 5, 7, 9} （10 以下の[[奇数]]の集合）、''Q'' = {2, 3, 5, 7} （10 以下の[[素数]]の集合）とすると、''P'' ∩ ''Q'' = {3, 5, 7} である。また、''R'' = {2, 4, 6, 8, 10} （10 以下の[[偶数]]の集合）とすると ''P'' と ''R'' には共通の要素が存在しないから ''P'' ∩ ''R'' は空集合である。
[[実数]]からなる[[区間 (数学)|開区間]]の族 '''M''' = {(0, 1 + 1/''n'') | ''n'' は 1 以上の[[自然数]]} の共通部分は半開区間 (0, 1] である：
:<math>\bigcap \mathbf{M}
= \bigcap_{n=1}^{\infty} \left(0,\, 1 + \frac{1}{n}\right)
= (0, 1].
</math>
実際、(0, 1] はどの区間にも含まれるので共通部分に含まれることは直ちに言える。一方、1 < ''x'' とするならば ''x'' = 1 + ε となる正の実数 ε が取れるが、1 / ε < ''n'' なる自然数は必ず存在して、''x'' はそのような ''n'' に対する (0, 1 + 1 / ''n'') に属さない。したがって上記の等式が成立する。また、同様の区間族 '''L''' = {(0, 1 − 1/''n'') | ''n'' は 1 以上の[[自然数]]} は ''n'' = 1 に対応する区間が空集合であるので共通部分 <span style="font-size:larger; font-weight:bold;">∩</span> '''L''' も空集合、つまり '''L''' は交わりを持たない。
== 関連項目 ==
* [[集合代数]]
* [[和集合]]
* [[差集合]]
* [[商集合]]
* [[論理積]]
[[Category:集合論|せきしゆこう]]
[[Category:初等数学|せきしゆうこう]]
[[Category:数学に関する記事|せきしゆうこう]]
[[ar:تقاطع (جبر)]]
[[ast:Interseición]]
[[be:Перасячэнне мностваў]]
[[bg:Конюнкция]]
[[ca:Intersecció]]
[[cs:Průnik]]
[[de:Mengenlehre#Schnittmenge]]
[[en:Intersection (set theory)]]
[[eo:Komunaĵo]]
[[es:Intersección de conjuntos]]
[[et:Ühisosa]]
[[fa:اشتراک (مجموعه)]]
[[fi:Leikkaus (matematiikka)]]
[[fiu-vro:Ütine osa]]
[[fr:Intersection (mathématiques)]]
[[he:חיתוך (מתמטיקה)]]
[[hu:Metszet (halmazelmélet)]]
[[is:Sniðmengi]]
[[it:Intersezione]]
[[ko:교집합]]
[[nl:Doorsnede (verzamelingenleer)]]
[[nn:Snitt i matematikk]]
[[pl:Przekrój zbiorów]]
[[pt:Interseção]]
[[ru:Пересечение множеств]]
[[sk:Prienik (matematika)]]
[[sl:Presek množic]]
[[sv:Snitt]]
[[th:อินเตอร์เซกชัน]]
[[uk:Перетин множин]]
[[vi:Phép giao]]
[[zh:交集]]
[[zh-classical:交集]]
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