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'''分配関数'''（ぶんぱいかんすう、Partition function）はある[[統計力学]]上のモデル系について、[[統計集団]]的平均を計算する際に、エネルギーEの状態に対する重みを規格化するための定数を定める関数式を指す。'''状態和'''（じょうたいわ、state sum, sum over states）とも
==分配関数==
:<math> Z = \sum_i e^{-{E_i \over {k_B T}} } </math>▼
状態が連続的に存在する古典系では、ボルツマン因子exp[-βE]を位相空間の運動が許される全空間領域で積分した式で定義され、また、系の微視的状態が離散的である場合には次のように定義される。
ここに、E<SUB>i</SUB>はi番目の状態の[[エネルギー]]、k<SUB>B</SUB>は[[ボルツマン定数]]、Tは[[絶対温度]]である。系がとり得る全ての状態について和をとるのであって、[[縮退]]などのエネルギーが等しい場合があっても、状態毎の和とすることに注意する。▼
カノニカル分布において温度Tの熱浴に接している系について、i番目のエネルギー固有状態をとる確率''p<sub>i</sub>''は次式で定義される。
状態和の関数形が求まると、[[ヘルムホルツエネルギー]]Aが計算でき、さらにまた各種[[熱力学量]]を表わす式を求めることができる。▼
ここで、E<SUB>i</SUB>はi番目の状態における[[エネルギー]]固有値、β=1/kTは[[逆温度]]、k<SUB>B</SUB>は[[ボルツマン定数]]、Tは[[絶対温度]]である。
確率''p<sub>i</sub>''の分母に現れた規格化定数Zがカノニカル分布の分配関数であり、次式で定義される。
:<math>
▲
分配関数を用いると、系全体の[[ヘルムホルツの自由エネルギー]]Fは次式で定義される。
:<math>F(\beta,V,N) = -\frac{1}{\beta}\ln Z(\beta)</math>
この式はマクロな熱力学関数が統計力学的に再現された一例であり、分配関数Zは熱力学と統計力学を結び付ける因子となっている。
==大分配関数==
グランドカノニカル分布において温度Tの熱浴に接している系について、i番目のエネルギー固有状態をとる確率''p<sub>i</sub>''は次式で定義される。
:<math> p_i = \frac{1}{\Xi(\beta , \mu)} e^{- \beta (E_i - \mu N_i)} = \frac{1}{\Xi(\beta , \mu)}e^{- \frac{E_i - \mu N_i}{k_B T}} </math>
ここで、E<SUB>i</SUB>はi番目の状態におけるエネルギー固有値、β=1/kTは逆温度、μは[[化学ポテンシャル]]、N<SUB>i</SUB>はi番目の状態をとる粒子数、k<SUB>B</SUB>は[[ボルツマン定数]]、Tは絶対温度である。
確率''p<sub>i</sub>''の分母に現れた規格化定数Ξはグランドカノニカル分布の大分配関数であり、次式で定義される。
:<math> \Xi(\beta , \mu) = \sum_i e^{- \beta (E_i - \mu N_i)} = \sum_i e^{- \frac{E_i - \mu N_i}{k_B T}}</math>
==関連記事==
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*[[統計力学]]
*[[統計集団]]
*[[カノニカル分布]]
*[[グランドカノニカル分布]]
{{DEFAULTSORT:ふんはいかんすう}}
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