「角運動量保存の法則」の版間の差分

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角運動量 <math>\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}</math> の時間変化([[時間微分]])は以下の式のようになる。
 
:{{Indent|<math>\frac{d \vec{L}}{dt} = \frac{d \vec{r}}{dt} \times \vec{p}+ \vec{r} \times \frac{d \vec{p}}{dt}</math> (1)}}
 
ここで、<math>\vec{r}</math> は[[質点]]の[[位置ベクトル]]、<math>\vec{p}</math>は[[運動量]]、<math>t</math>は[[時間]]である。式(1)の右辺の第一項は、
 
:{{Indent|<math>\frac{d \vec{r}}{dt} \times \vec{p} = \vec{v} \times m \vec{v} = m \vec{v} \times \vec{v} = 0 </math> (2)}}
 
すなわち、[[速度]] <math>\vec{v}</math> どうしの[[外積]]なので0となる。よって、式(1)は次のようになる。
 
:{{Indent|<math>\frac{d \vec{L}}{dt} = \vec{r} \times \frac{d \vec{p}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F}</math> (3)}}
 
ここで、<math>\vec{r} \times \vec{F}</math> は、[[外力]] <math>\vec{F}</math> による[[力のモーメント]]である。したがって、'''角運動量の時間変化は外力によるモーメントに等しい'''。これにより、以下のことが分かる。
 
[[ケプラーの法則]]の第二法則「面積速度一定の法則」は、「角運動量保存の法則」に他ならない。なぜなら、面積速度は
:{{Indent|<math>S=\frac{1}{2} \vec{r} \times \vec{v}</math>}}
と表すことができるが、これを 2<math>m</math> 倍すると角運動量 <math>m\vec{r} \times \vec{v}</math> に等しくなる。この法則は天体の間の引力が中心力であることをあらわしている。
 
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