「スペクトル半径」の版間の差分

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[[数学]]における'''スペクトル半径'''(-はんけい、''spectral radius'')とは、[[行列]]ないし[[線形位相空間|有界線形作用素]]についての[[固有値]]の[[絶対値]]の[[最小上界]]で、ρ(・) と表記される。
 
==行列のスペクトル半径==
λ<sub>1</sub>, ...,λ<sub>s</sub>([[実数]]ないし[[複素数]])を行列 A∈'''C'''<sup>n&times;n</sup> の固有値とすると、スペクトル半径 ρ(A) は以下のように定義される。
:<math>\rho(A) := \max_i(|\lambda_i|)</math>
以下の補題は、行列のスペクトル半径に対し、非常に単純で有用な上限を与えるものである。
 
'''補題''': ''A'' ∈ '''C'''<sup>''n'' × ''n''</sup> を複素行列、ρ(''A'') をそのスペクトル半径、||·|| を [[行列ノルム|一貫性のある行列ノルム]] とすると、任意の ''k'' ∈ '''N''' に対し以下の式が成立する。
 
:<math>\rho(A)\leq \|A^k\|^{1/k},\ \forall k \in \mathbb{N}.</math>
 
''証明'': ('''v''', λ) を行列''A''の[[固有ベクトル]]-[[固有値]]の組とする。行列ノルムの sub-multiplicative 性から、次式を得る。
 
::<math>|\lambda|^k\|\mathbf{v}\| = \|\lambda^k \mathbf{v}\| = \|A^k \mathbf{v}\| \leq \|A^k\|\cdot\|\mathbf{v}\|</math>
 
:ここで、'''v''' ≠ 0 であるので、任意の λ に対して次式を得る。
 
:<math>|\lambda|^k\leq \|A^k\|</math>
 
:したがって、
 
:<math>\rho(A)\leq \|A^k\|^{1/k}\,\,\square</math>
 
以下の定理が示すように、スペクトル半径は行列の等比数列の収束性と密接に関係している。
 
'''定理''': ''A'' ∈ '''C'''<sup>''n'' × ''n''</sup> を複素行列、ρ(''A'') をそのスペクトル半径とすると、次式が成立する。
 
:<math>\lim_{k \to \infty}A^k=0</math> if and only if <math>\rho(A)<1.</math>
 
さらに、ρ(''A'')>1 の場合は、<math>\|A^k\|</math> は k の増加に対して有界でない。
 
''証明'':
 
(<math>\lim_{k \to \infty}A^k = 0 \Rightarrow \rho(A) < 1</math>)
 
: ('''v''', λ) を行列''A''の[[固有ベクトル]]-[[固有値]]の組とすると、
 
::<math>A^k\mathbf{v} = \lambda^k\mathbf{v},</math>
 
:であるから、以下の式を得る。
 
::{|
|-
|<math>0\,</math>
|<math>= (\lim_{k \to \infty}A^k)\mathbf{v}</math>
|-
|
|<math>= \lim_{k \to \infty}A^k\mathbf{v}</math>
|-
|
|<math>= \lim_{k \to \infty}\lambda^k\mathbf{v}</math>
|-
|
|<math>= \mathbf{v}\lim_{k \to \infty}\lambda^k</math>
|}
 
:また、'''v''' ≠ 0 の仮定から、次式を得る。
 
::<math>\lim_{k \to \infty}\lambda^k = 0</math>
 
:これは、|λ| < 1 であることを意味する。これはすべての固有値 λ に対して成立しなければならないから、ρ(''A'') < 1 と結論づけることができる。
 
(<math>\rho(A)<1 \Rightarrow \lim_{k \to \infty}A^k = 0</math>)
 
:[[ジョルダン標準形]]の定理から、任意の複素行列 ''A'' ∈ '''C'''<sup>''n'' × ''n''</sup> に対し、[[正則行列|非特異行列]] ''V'' ∈ '''C'''<sup>''n'' × ''n''</sup> と ブロック対角行列が ''J'' ∈ '''C'''<sup>''n'' × ''n''</sup> が存在して、次式を満たすことが知られている。
 
::<math>A = VJV^{-1}</math>
 
:ただし、
 
::<math>J=\begin{bmatrix}
J_{m_1}(\lambda_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & J_{m_2}(\lambda_2) & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \cdots & \ddots & \cdots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & J_{m_{s-1}}(\lambda_{s-1}) & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & J_{m_s}(\lambda_s)
\end{bmatrix}</math>
 
::<math>J_{m_i}(\lambda_i)=\begin{bmatrix}
\lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_i & 1 \\
0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i
\end{bmatrix}\in \mathbb{C}^{m_i,m_i}, 1\leq i\leq s.</math>
 
:自然に、以下の式が得られる。
 
::<math>A^k=VJ^kV^{-1}</math>
 
:また、''J'' はブロック対角行列であるので、
 
::<math>J^k=\begin{bmatrix}
J_{m_1}^k(\lambda_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & J_{m_2}^k(\lambda_2) & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \cdots & \ddots & \cdots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & J_{m_{s-1}}^k(\lambda_{s-1}) & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & J_{m_s}^k(\lambda_s)
\end{bmatrix}</math>
 
:今、''m''<sub>''i''</sub> × ''m''<sub>''i''</sub> のジョルダン細胞の k 乗に対する標準的な結果から、''k'' ≥ ''m''<sub>''i'' − 1</sub> に対して次のように述べることができる。
 
::<math>J_{m_i}^k(\lambda_i)=\begin{bmatrix}
\lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} & {k \choose 2}\lambda_i^{k-2} & \cdots & {k \choose m_i-1}\lambda_i^{k-m_i+1} \\
0 & \lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} & \cdots & {k \choose m_i-2}\lambda_i^{k-m_i+2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} \\
0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i^k
\end{bmatrix}</math>
 
:したがって、if ρ(''A'') < 1 の場合、|λ<sub>''i''</sub>| < 1 ∀ ''i'' である。すなわち、
 
::<math>\lim_{k \to \infty}J_{m_i}^k=0\ \forall i</math>
 
:これは、次のことを意味する。
 
::<math>\lim_{k \to \infty}J^k = 0.</math>
 
:したがって、
 
::<math>\lim_{k \to \infty}A^k=\lim_{k \to \infty}VJ^kV^{-1}=V(\lim_{k \to \infty}J^k)V^{-1}=0</math>
 
一方、ρ(''A'')>1 の場合は、少なくとも ''J'' のうち一つの要素は k の増加に対して有界でない。したがって、定理の後半が証明される。
 
::<math>\square</math>
 
==定理(Gelfand の公式、1941年)==
任意の[[行列ノルム]] ||·|| に関して、次式が成立する。
 
:<math>\rho(A)=\lim_{k \to \infty}||A^k||^{1/k}.</math>
 
換言すれば、Gelfand の公式は、''A''<sup>''k''</sup> のノルムの増加率が ''A'' のスペクトル半径に漸近することを示している。
 
:<math>\|A^k\|\sim\rho(A)^k</math> for <math>k\rightarrow \infty.\,</math>
 
''証明'': 任意の ε > 0 に対し、次のような行列を考える。
 
::<math>\tilde{A}=(\rho(A)+\epsilon)^{-1}A.</math>
 
:すると、当然
 
::<math>\rho(\tilde{A}) = \frac{\rho(A)}{\rho(A)+\epsilon} < 1</math>
 
:である。先の定理から、
 
::<math>\lim_{k \to \infty}\tilde{A}^k=0.</math>
 
:これは、数列の極限の定理から、ある自然数 ''N<sub>1</sub>'' ∈ '''N''' が存在して、次式を満たすことを示している。
 
::<math>\forall k\geq N_1 \Rightarrow \|\tilde{A}^k\| < 1</math>
 
:すなわち、
::<math>\forall k\geq N_1 \Rightarrow \|A^k\| < (\rho(A)+\epsilon)^k</math>
 
:または、
 
::<math>\forall k\geq N_1 \Rightarrow \|A^k\|^{1/k} < (\rho(A)+\epsilon).</math>
 
:である。ここで、次の行列を考える。
 
::<math>\check{A}=(\rho(A)-\epsilon)^{-1}A.</math>
 
:すると、当然、
 
::<math>\rho(\check{A}) = \frac{\rho(A)}{\rho(A)-\epsilon} > 1</math>
 
:また、先の定理より、<math>\|\check{A}^k\|</math> は有界でない。
 
:これは、自然数 ''N<sub>2</sub>'' ∈ '''N''' が存在して、次式を満たすことを意味する。
 
::<math>\forall k\geq N_2 \Rightarrow \|\check{A}^k\| > 1</math>
 
:すなわち、
 
::<math>\forall k\geq N_2 \Rightarrow \|A^k\| > (\rho(A)-\epsilon)^k</math>
 
:または、
 
::<math>\forall k\geq N_2 \Rightarrow \|A^k\|^{1/k} > (\rho(A)-\epsilon).</math>
 
:である。ここで、
 
::<math>N:=max(N_1,N_2)</math>
 
:とすると、以上のことから、次式を得る。
 
::<math>\forall \epsilon>0, \exists N\in\mathbb{N}: \forall k\geq N \Rightarrow \rho(A)-\epsilon < \|A^k\|^{1/k} < \rho(A)+\epsilon</math>
 
:したがって、定義より、
 
::<math>\lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k} = \rho(A).\,\,\square</math>
 
Gelfand の公式は、有限個の行列の積のスペクトル半径に対しても考えることができる。すべての行列が可換であると仮定すると、次式を得る。
 
<math>
\rho(A_1 A_2 \ldots A_n) \leq \rho(A_1) \rho(A_2)\ldots \rho(A_n).
</math>
 
実際、ノルムが[[行列ノルム|一貫性]]を持つ場合、この証明は命題より多くの事実を含む。先の命題を用いて、左辺の下限をスペクトル半径自体に置き換えることで、より正確に以下の式を書くことができる。
 
::<math>\forall \epsilon>0, \exists N\in\mathbb{N}: \forall k\geq N \Rightarrow \rho(A) \leq \|A^k\|^{1/k} < \rho(A)+\epsilon</math>
 
:定義より、
:<math>\lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k} = \rho(A)^+.</math>
 
'''例''': 次の行列を考える。
:<math>A=\begin{bmatrix}
9 & -1 & 2\\
-2 & 8 & 4\\
1 & 1 & 8
\end{bmatrix}</math>
 
この固有値は 5, 10, 10 であるから、定義より、スペクトル半径は ρ(''A'')=10 である。以下の表には、最も良く用いられる 4 つのノルムに対する <math>\|A^k\|^{1/k}</math> の、k の増加に対する値が記載されている(この行列は正方行列であるので、<math>\|.\|_1=\|.\|_\infty</math> であることに注意されたい)。
 
<table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" width="756">
<tr>
<td> k </td><td> <math>\|.\|_1=\|.\|_\infty</math> </td><td> <math>\|.\|_F</math> </td><td> <math>\|.\|_2</math> </td>
</tr>
<tr>
<td>&nbsp;</td>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>14</td>
<td>15.362291496</td>
<td>10.681145748</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>12.649110641</td>
<td>12.328294348</td>
<td>10.595665162</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>11.934831919</td>
<td>11.532450664</td>
<td>10.500980846</td>
</tr>
<tr>
<td>4</td>
<td>11.501633169</td>
<td>11.151002986</td>
<td>10.418165779</td>
</tr>
<tr>
<td>5</td>
<td>11.216043151</td>
<td>10.921242235</td>
<td>10.351918183</td>
</tr>
<tr>
<td><math>\vdots</math></td>
<td><math>\vdots</math></td>
<td><math>\vdots</math></td>
<td><math>\vdots</math></td>
</tr>
<tr>
<td>10</td>
<td>10.604944422</td>
<td>10.455910430</td>
<td>10.183690042</td>
</tr>
<tr>
<td>11</td>
<td>10.548677680</td>
<td>10.413702213</td>
<td>10.166990229</td>
</tr>
<tr>
<td>12</td>
<td>10.501921835</td>
<td>10.378620930</td>
<td>10.153031596</td>
</tr>
<tr>
<td><math>\vdots</math></td>
<td><math>\vdots</math></td>
<td><math>\vdots</math></td>
<td><math>\vdots</math></td>
</tr>
<tr>
<td>20</td>
<td>10.298254399</td>
<td>10.225504447</td>
<td>10.091577411</td>
</tr>
<tr>
<td>30</td>
<td>10.197860892</td>
<td>10.149776921</td>
<td>10.060958900</td>
</tr>
<tr>
<td>40</td>
<td>10.148031640</td>
<td>10.112123681</td>
<td>10.045684426</td>
</tr>
<tr>
<td>50</td>
<td>10.118251035</td>
<td>10.089598820</td>
<td>10.036530875</td>
</tr>
<tr>
<td><math>\vdots</math></td>
<td><math>\vdots</math></td>
<td><math>\vdots</math></td>
<td><math>\vdots</math></td>
</tr>
<tr>
<td>100</td>
<td>10.058951752</td>
<td>10.044699508</td>
<td>10.018248786</td>
</tr>
<tr>
<td>200</td>
<td>10.029432562</td>
<td>10.022324834</td>
<td>10.009120234</td>
</tr>
<tr>
<td>300</td>
<td>10.019612095</td>
<td>10.014877690</td>
<td>10.006079232</td>
</tr>
<tr>
<td>400</td>
<td>10.014705469</td>
<td>10.011156194</td>
<td>10.004559078</td>
</tr>
<tr>
<td><math>\vdots</math></td>
<td><math>\vdots</math></td>
<td><math>\vdots</math></td>
<td><math>\vdots</math></td>
</tr>
<tr>
<td>1000</td>
<td>10.005879594</td>
<td>10.004460985</td>
<td>10.001823382</td>
</tr>
<tr>
<td>2000</td>
<td>10.002939365</td>
<td>10.002230244</td>
<td>10.000911649</td>
</tr>
<tr>
<td>3000</td>
<td>10.001959481</td>
<td>10.001486774</td>
<td>10.000607757</td>
</tr>
<tr>
<td><math>\vdots</math></td>
<td><math>\vdots</math></td>
<td><math>\vdots</math></td>
<td><math>\vdots</math></td>
</tr>
<tr>
<td>10000</td>
<td>10.000587804</td>
<td>10.000446009</td>
<td>10.000182323</td>
</tr>
<tr>
<td>20000</td>
<td>10.000293898</td>
<td>10.000223002</td>
<td>10.000091161</td>
</tr>
<tr>
<td>30000</td>
<td>10.000195931</td>
<td>10.000148667</td>
<td>10.000060774</td>
</tr>
<tr>
<td><math>\vdots</math></td>
<td><math>\vdots</math></td>
<td><math>\vdots</math></td>
<td><math>\vdots</math></td>
</tr>
<tr>
<td>100000</td>
<td>10.000058779</td>
<td>10.000044600</td>
<td>10.000018232 </td>
</tr>
</table>
 
== 有界線形作用素のスペクトル半径 ==
[[有界線形作用素]] ''A'' と[[作用素ノルム]] ||·|| に対し、再び次式を定義する。
 
:<math>\rho(A) = \lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k}.</math>
 
(複素ヒルベルト空間上の)有界作用素は、そのスペクトル半径が[[数域半径]]と一致する場合、'''spectraloid operator''' と呼ばれる。このような作用素の例としては、[[正規作用素]]がある。
 
==グラフのスペクトル半径==
有限[[グラフ]]の'''スペクトル半径'''は、その[[隣接行列]]のスペクトル半径として定義される。
 
この定義は、頂点の次数が有界な無限グラフ(すなわち、ある実数 C が存在して、グラフ中のすべての頂点の次数が C より小さくなる)の場合に拡張される。この場合、グラフ G に対してl<sup>2</sup>(G) を次の関数の関数空間とする。
:<math> f \colon V(G) \to {\mathbb R} </math> ただし、 <math> \sum_{v \in V(G)} \|f(v)^2\| < \infty </math>
γ: l<sup>2</sup>(G) → l<sup>2</sup>(G)を G の[[隣接作用素]]、すなわち、
:<math> (\gamma f)(v) = \sum_{(u,v) \in E(G)} f(u) </math>
とすると、G のスペクトル半径は、有界線形作用素 γ のスペクトル半径として定義される。
 
==関連記事==
* [[スペクトルギャップ]]([[w:Spectral Gap]])
 
==外部リンク==
* [http://people.csse.uwa.edu.au/gordon/planareig.html Spectral Radius of Planar Graphs](英語)
 
{{DEFAULTSORT:すぺくとるはんけい}}
[[Category:線型代数学]]
[[Category:物理数学]]
[[Category:数学に関する記事]]
 
[[de:Spektralradius]]
[[en:Spectral radius]]
[[fa:شعاع طیفی]]
[[fr:Rayon spectral]]
[[it:Raggio spettrale]]
[[pl:Promień spektralny]]
[[zh:矩阵谱半径]]
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