2003年11月10日 (月) 03:30時点における版編集 Ideal (会話 \| 投稿記録) 2,278 回編集 m スタブに ← 古い編集		2003年11月13日 (木) 15:59時点における版編集取り消し Ideal (会話 \| 投稿記録) 2,278 回編集英語版を参考に少し加筆。新しい編集 →
1行目: [[en:Direct sum]] '''直和'''とは複数の[[集合]]、また特に[[代数的構造]]の入った集合をぴったり合わせてできる新たな集合のことをいう。直和を表すのに用いられる記号には :<math> ~~V = V_1~~ \oplus, ~~V_2~~\coprod </math>▼ などがある。後者の記号は直積のそれによく似ているが、実際代数的構造を持つ集合の直和と直積は、有限個のものの間では同じになる<!--coproduct うんぬんは知識がないため書けない-->。 ==集合の直和== [[集合]]の直和（または''非交和''、''disjoint union''）とは、互いに交わらない、つまり[[共通部分]]が[[空集合]]であるような二つの集合の[[和集合]]を表す。二つ以上の集合の直和も同様に定義できる。たとえば、ある位相空間内の集合の内部と境界と外部の和は直和になっている。 ==ベクトル空間の直和== [[ベクトル空間]]の直和とは、''V''<sub>1</sub>, ''V''<sub>2</sub> を同じ[[体]]上の二つの[[ベクトル空間]]で ''V''<sub>1</sub>∩''V''<sub>2</sub> = {0} を満たすとしたとき、''V''<sub>1</sub> のベクトルと ''V''<sub>2</sub> のベクトルの和で作られる新たなベクトル空間 ''V'' のことをいう。別の言い方をすれば、''V''<sub>1</sub> と ''V''<sub>2</sub> の集合としての[[直積]]に対して、和を成分ごとの和であたえ、スカラー倍はそれぞれの成分をともにスカラー倍することだとしてできるベクトル空間のことである。~~このベクトル空間のことをふつう~~ ▲:<math> V = V_1 \oplus V_2 </math> ~~という記号を用いて表す。~~ ''V'' のベクトルは ''V''<sub>1</sub> と ''V''<sub>2</sub> のベクトルの和として一意的に表すことができ、''V'' の次元はそれぞれの次元の和に等しい。 ==加群の直和== 任意個の[[加群]] {''M''<sub>''i''</sub>}<sub>''i''∈''I''</sub> に対して、それらの直積 :<math>\prod_{i \in I} M_i </math> に含まれる元のうち（これが空でないことは[[選択公理]]を要さない）、''その成分が有限個のものを除いてすべて単位元であるようなもの''の集合を考える（制限直積）。元の間に演算を (''x''<sub>''i''</sub>)<sub>''i''∈''I''</sub> + (''y''<sub>''i''</sub>)<sub>''i''∈''I''</sub> = (''x''<sub>''i''</sub> + ''y''<sub>''i''</sub>)<sub>''i''∈''I''</sub>、環の作用を a(''x''<sub>''i''</sub>)<sub>''i''∈''I''</sub> = (a''x''<sub>i</sub>)<sub>''i''∈''I''</sub>（a は環の元）で与えると、この集合は加群になる。これを加群 {''M''<sub>''i''</sub>}<sub>''i''∈''I''</sub> の直和と呼ぶ。なお、この定義から作用を無視すれば自然に[[アーベル群]]の直和が得られる。ある加群の任意の元が部分加群 {''M''<sub>''i''</sub>} の元の有限の和として一意的に書き表せるとき、この加群は {''M''<sub>''i''</sub>} の直和と同型になる。直和はこのようにして構造的に定義することもできる。これに対して既に述べたような定義を構成的ということもある。ベクトル空間と同じように、直和加群の長さはそれぞれの加群の長さ（またはアーベル群のランク）の和になる。

「直和」の版間の差分