「計量テンソル」の版間の差分

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a から b までの曲線の長さは、<math>t_{}^{}</math> をパラメータとして、
 
:{{Indent|<math>L = \int_a^b \sqrt{ g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}}dt \ </math>}}
 
として定義される。2つの[[接ベクトル]](tangent vector)<math>U=u^i{\partial\over \partial x_i} \ </math> と <math>V=v^i{\partial\over \partial x_i} \ </math> のなす角度<math>\theta_{}^{}</math> は、
 
:{{Indent|<math>
\cos \theta = \frac{g_{ij}u^iv^j}
{\sqrt{ \left| g_{ij}u^iu^j \right| \left| g_{ij}v^iv^j \right|}}
\ </math>}}
 
で与えられる。
The induced metric tensor for a smooth [[embedding]] of a [[manifold]] into [[Euclidean space]] can be computed by the formula
 
:{{Indent|<math>G = J^T J \ </math>}}
 
where <math>J \ </math> denotes the [[Jacobian]] of the embedding and <math>J^T \ </math> its [[transpose]].
===ユークリッド計量===
2次元の[[ユークリッド計量]](平らな空間)は、
:{{Indent|<math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}</math>,  <math>ds^2_{}=(dx^1)^2 + (dx^2)^2 </math>}}
 
で与えられ、曲線の長さは、良く知られた公式
:{{Indent|<math>L = \int_a^b \sqrt{ (dx^1)^2 + (dx^2)^2} \ </math>}}
で与えられる。
 
座標系を替えたユークリッド計量の例をいくつか示す。
 
;[[極座標]](Polar coordinates): <math>(x^1, x^2)=(r, \theta) \ </math>
:<math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (x^1)^2\end{bmatrix}</math>,  <math>ds^2_{}=(dr)^2 + r^2(d\theta)^2 </math>
;[[円筒座標]](Cylindrical coordinates): <math>(x^1, x^2, x^3)=(r, \theta, z) \ </math> 
 
[[円筒座標]](Cylindrical coordinates): <math>(x^1, x^2, x^3)=(r, \theta, z) \ </math> 
:<math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}</math>,   <math>ds^2_{}=(dr)^2 + r^2(d\theta)^2 + (dz)^2 </math>
;[[球座標]](Spherical coordinates): <math>(x^1, x^2, x^3)=(r, \theta, \phi) \ </math>
 
[[球座標]](Spherical coordinates): <math>(x^1, x^2, x^3)=(r, \theta, \phi) \ </math>
:<math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & (x^1\sin x^2)^2\end{bmatrix} </math>,   <math>ds^2_{}=(dr)^2 + r^2(d\theta)^2 + r^2\sin^2\theta (d\phi)^2 </math>
;平らな [[ミンコフスキー空間]](flat Minkowski space): <math>(x^0, x^1, x^2, x^3)=(t, x, y, z) \ </math>
 
平らな [[ミンコフスキー空間]](flat Minkowski space): <math>(x^0, x^1, x^2, x^3)=(t, x, y, z) \ </math>
:<math>g = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} </math>,  <math>ds^2_{}=-(dt)^2 +(dx)^2 +(dy)^2+(dz)^2</math>
 
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